Nachweis positive Semidefinitheit

04.08.2011, 14:40	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis positive Semidefinitheit Hallo zusammen, Folgende symmetrische Matrix ist gegeben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 1/2 & 0 & 0 & 0\\1/2 & 1 & 1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 1 & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 & 1 & 1/2 & 0\\0 & 0 & 1/2 & 1/2 & 1 & 1/2\\ 0 & 0 & 1/2 & 0 & 1/2 & 1\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese Matrix ist positiv semidefinit. Die Frage lautet: Wie kann man das am geschicktesten nachweisen? Über Hauptminoren, Eigenwerte etc. wäre nicht so geschickt. Denn ich betrachte in der Regel noch größere Matrizen dieser Bauart. Dies ist nur ein Spezialfall. Die Matrix hat ja fast eine Bandstruktur. Evtl. lässt sich darüber was machen. der numerische Ansatz über die Gerschgorin Kreise ist hier insofern unglücklich, weil die Kreise ineinandergeschachtelt sind und man daraus nicht auf die Nichtnegativität der Eigenwerte schließen kann. Gruß
04.08.2011, 15:44	Wetal	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, möchtest du das nur für jede Matrix überprüfen, oder allgemein zeigen? Man könnte so etwas eventuell mit der Cholesky-Zerlegung überprüfen, welche die gleiche Bandbreite besitzt wie diese $\begin{eqnarray} n \times n \end{eqnarray}$ Matrix und somit einen geringeren Aufwand als $\begin{eqnarray} \frac{1}{6} n^3 \end{eqnarray}$ haben sollte. Kannst du vielleicht genauer zeigen, wie so eine Matrix entsteht?
05.08.2011, 08:37	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die ganze Theorie, wie ich auf diese Matrizen komme, müsste man weit ausholen, aber folgendes lässt sich zu den Matrizen sagen: Es handelt sich immer um quadratische $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n+d \\ d \\ \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} n+d \\ d \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Matrizen wobei n und d natürliche Zahlen sind. Die Matrizen haben alle eine 1 auf der Diagonalen und auf den Ober und Unterdiagonalen eine 1/2. Die Matrizen sind fast Bandmatrizen. Der Grund, warum sie es nicht ganz sind, ist der, dass mal statt einer 1/2 eine 0 als Eintrag steht. Die Matrizen haben nur die Einträge 0, 1/2 und 1 (Die 1 aber nur auf der Diagonalen) Es über die Cholesky Zerlegung zu probieren, klingt gut. Wenn ich mich für die Berechnungsformeln der Einträge in der Zerlegung an http://en.wikipedia.org/wiki/Cholesky_decomposition orientiere, dann kann man bestimmt darüber argumentieren, dass die L_jj immer positiv sind aufgrund der 0 und 1/2 Einträge in der Ausgangsmatrix Oder gibt es geschicktere Herangehensweisen? Eigenwertberechnung und Hauptminoren fallen ja weg aufgrund ihres Aufwands.

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