berechnung von brüchen mit variablen

04.08.2011, 17:36

Ninanina

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berechnung von brüchen mit variablen

hallo an alle,

ein paar aufgaben aus dem bereich "bruchrechnung mit variabelen" machen mir echt schwer zu schaffen:

1. $\begin{eqnarray*} -\frac{x-y}{x+y}-\frac{x+y}{x-y}+\frac{4xy}{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

hier fehlt mir leider jeglicher ansatz -.-

2. $\begin{eqnarray*} \frac{6b+2}{4y-8}+\frac{5b-3}{2y-4}-\frac{3b-1}{y-2} \end{eqnarray*}$

hier hatte ich eig. als gemeinsamen nenner 4y-8, sodass die brüche dann so aussähen:

$\begin{eqnarray*} \frac{6b+2}{4y-8}+\frac{10b-6}{4y-8}-\frac{12b-4}{4y-8} \end{eqnarray*}$

also käme ich dann auf das ergebnis: $\begin{eqnarray*} \frac{4b-8}{4y-8} \end{eqnarray*}$ , also gekürzt: $\begin{eqnarray*} \frac{b-2}{y-2} \end{eqnarray*}$
aber in den lösungen steht als ergebnis nur: $\begin{eqnarray*} \frac{b}{y-2} \end{eqnarray*}$

wo liegt mein fehler?

vielen dank schonmal smile

smile

04.08.2011, 17:42

Steffen Bühler

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RE: berechnung von brüchen mit variabelen

Zitat:

Original von Ninanina
1. $\begin{eqnarray*} -\frac{x-y}{x+y}-\frac{x+y}{x-y}+\frac{4xy}{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

hier fehlt mir leider jeglicher ansatz -.-

Was ist $\begin{eqnarray*} (x+y) \cdot (x-y) \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{6b+2}{4y-8}+\frac{10b-6}{4y-8}-\frac{12b-4}{4y-8} \end{eqnarray*}$

also käme ich dann auf das ergebnis: $\begin{eqnarray*} \frac{4b-8}{4y-8} \end{eqnarray*}$

Pass mal ein bissl auf die Vorzeichen auf.

Viele Grüße
Steffen

04.08.2011, 17:43

sulo

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RE: berechnung von brüchen mit variabelen
Bei Aufgabe 1 solltest du beim Nenner an die 3. binom. Formel denken. smile

smile

edit: Zu spät...

04.08.2011, 17:49

Ninanina

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okay, also wie ich auf das ergebnis der 2. aufgabe komme, ist mir jetzt klar (danke für den tipp), aber bei der 1. versteh ich immer noch nichts...

(y+x)*(y-x) hebt sich doch eig. gegenseitig auf, oder?
aber inwiefern ist das relevant für die aufgabe?

04.08.2011, 17:52

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Ninanina
(y+x)*(y-x) hebt sich doch eig. gegenseitig auf, oder?

Nein. Multiplizier's mal aus. Hast Du sulos Antwort gelesen?

Viele Grüße
Steffen

04.08.2011, 17:57

Ninanina

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achja, gut, okay, also mit der 3. binomischen formel wäre es dann:

y^2-x^2

aber wie hilft mir das bei der aufgabe weiter?

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04.08.2011, 18:02

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Ninanina
achja, gut, okay, also mit der 3. binomischen formel wäre es dann:

y^2-x^2

aber wie hilft mir das bei der aufgabe weiter?

Nuja, da steht im Nenner einmal $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ , einmal $\begin{eqnarray*} x-y \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ .

Was ist nun der gemeinsame Nenner, wenn Du Deine obige Erkenntnis anwendest?

Viele Grüße
Steffen

04.08.2011, 18:09

Ninanina

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ich würde dann mal sagen, dass y^2-x^2 der gemeinsame nenner ist.
aber kann man das denn überhaupt so rechnen? weil zwischen dem 1. und dem 2. bruch steht ja ein - und kein *...

04.08.2011, 18:15

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Ninanina
ich würde dann mal sagen, dass y^2-x^2 der gemeinsame nenner ist.

Ja! Noch besser ist allerdings $\begin{eqnarray*} x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ Bleiben wir mal dabei.

Zitat:

aber kann man das denn überhaupt so rechnen? weil zwischen dem 1. und dem 2. bruch steht ja ein - und kein *...

Stimmt. Macht aber nichts. Du weißt jetzt, mit was Du den ersten Bruch erweitern musst, um auf den Hauptnenner zu kommen. Und beim zweiten Bruch weißt Du's auch.

Viele Grüße
Steffen

04.08.2011, 18:26

Ninanina

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also ich würde sagen, dass ich das einfach nur quadrieren muss:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-y^2}{x^2-y^2}-\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}+\frac{4xy}{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig?
und wie gehts dann weiter?
also dann müsste man doch die zähler zusammenrechnen, oder?
aber da bin ich etwas überfordert mit...

04.08.2011, 18:33

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Ninanina
ist das soweit richtig?

Leider nicht. Mal langsam:

Du willst $\begin{eqnarray*} \frac{x-y}{x+y} \end{eqnarray*}$ so erweitern, daß im Nenner $\begin{eqnarray*} x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ steht. Womit erweiterst Du dann? Womit musst Du $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ malnehmen, damit es zu $\begin{eqnarray*} x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ wird?

Viele Grüße
Steffen

04.08.2011, 18:42

Ninanina

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okay, also dann müsste ich im ersten burch ja *x und *-y rechnen, um auf den besagten nenner zu kommen...
im zweiten bruch muss ich dann nur *x und *y rechnen und im dritten muss man ja gar nichts verändern.
dann sähe der bruch so aus:

$\begin{eqnarray*} -\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}-\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}+\frac{4xy}{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

soweit erstmal richtig?

dann müsste man die zähler zusammenrechnen, also:

-(x+y)^2 - (x+y)^2 + 4xy

-(x+y)^2 - (x+y)^2 = -2(x+y)^2

-2(x+y)^2 + 4xy = ?? wie rechnet man das zusammen?

04.08.2011, 18:50

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Ninanina
okay, also dann müsste ich im ersten burch ja *x und *-y rechnen, um auf den besagten nenner zu kommen...

Dann würdest Du rechnen $\begin{eqnarray*} (x+y) \cdot x \cdot (-y) \end{eqnarray*}$ . Das gibt aber nicht die gewünschten $\begin{eqnarray*} x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ . Rechne es nach, wenn Du's nicht glaubst.

Mit dem Wissen $\begin{eqnarray*} (x+y) \cdot (x-y) = x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ findest Du aber heraus, mit was Du $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ multiplizieren mußt, um auf $\begin{eqnarray*} x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ zu kommen, oder?

Viele Grüße
Steffen

EDIT: Ich muss leider weg. Kann hier jemand übernehmen? Danke!

04.08.2011, 19:41

Ninanina

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also beim besten willen, das einfach mnal sich slbst zu nehmen war das letzte, was mir ncoh eingefallen ist, jetzt steh ich echt auf dem schlauch!

04.08.2011, 19:57

sulo

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Dann springe ich gerne mal ein.

Wir haben: $\begin{eqnarray*} -\frac{x-y}{x+y}-\frac{x+y}{x-y}+\frac{4xy}{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

Und du kennst den HN: x² - y² bzw. (x - y)(x + y)

Auf diesen musst du alle Nenner bringen. Das machst du, indem du die Brüche jeweils erweiterst.

smile

smile

04.08.2011, 20:01

Ninanina

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seh ich das dann richtig, dass man mit (x-y) multiplizieren muss?

PS: danke fürs einspringen!

04.08.2011, 20:05

sulo

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Ja, der erste Bruch wird mit (x - y) multipliziert. Freude

Freude

Und der zweite?

smile

smile

04.08.2011, 20:08

Ninanina

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der zweite bruch wird mit x+y multipliziert!
sodass das ganze dann so aussehen würde:

$\begin{eqnarray*} -\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}-\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}+\frac{4xy}{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

soweit, so gut!
aber wie komme ich von da nun auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2(x-y}{x+y} \end{eqnarray*}$ ??

04.08.2011, 20:13

sulo

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Ich denke, du hast im Zähler des ersten Bruchs einen Tippfehler: es müsste x² - y² heißen.

Und dann musst du mal alles auf einen Bruchstrich schreiben. Achte dabei auf die Rechenzeichen. smile

smile

edit: Ich habe mich geirrt, es muss noch anders heißen:

$\begin{eqnarray*} -\frac{(x-y)(x-y)}{x^2-y^2}-\frac{(x+y)(x+y)}{x^2-y^2}+\frac{4xy}{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

Fasse dies mal zusammen.

04.08.2011, 20:19

Ninanina

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also eig. war das schon so beabsichtigt, weil der erste bruch (in der originalfassung der aufgabe) lautete:

$\begin{eqnarray*} -\frac{x-y}{x+y} \end{eqnarray*}$

wenn ich nun aus dem nenner ein x^2-y^2 machen will, muss ich ja mit etwas negativem multiplizieren.
deswegen dachte ich mir auch *x-y
und wenn ich das nun bei dem zähler auch anwende, der ja schon negativ ist, müsste das doch positiv werden und somit sollte eig. das, was ich geschrieben ahbe, richtig sein, oder?
also so hab ich es mir zumindet gedacht! (ich hoffe, da steigt wer durch, das klingt ziemlich verwirrend!)

PS: ich ahbe nur bei dem ergebnis hinten die klammer vergessen, muss natrlich heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2(x-y)}{x+y} \end{eqnarray*}$

04.08.2011, 20:22

Ninanina

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sorry, hab dein edit zu spät gesehen.
aber mit dem zusammenfassen hab ich schiwerigkeiten...

04.08.2011, 20:25

sulo

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Ja, ich war oben noch nicht ganz bei der Sache...

Mit zusammenfassen meine ich, dass du die Zähler zunächst mal ausmultiplizierst und dann alles auf einen Bruchstrich schreibst.

(Es geht natürlich auch umgekehrt). Und danach fällt so einiges weg.

smile

smile

04.08.2011, 20:29

Ninanina

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also so:

$\begin{eqnarray*} -\frac{(x-y)*(x-y)-x^2+y^2+4xy}{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

ist das so richtig?

04.08.2011, 20:34

sulo

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Noch nicht ganz. Der erste Bruch stimmt jetzt, beim zweiten Bruch hast du doch (x + y)(x + y) stehen und nicht x² + y² .

Außerdem hast du nicht auf die Vorzeichen vor den Brüchen geachtet. Lasse die Klammern beim zweiten Bruch lieber erst einmal stehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.08.2011, 20:37

Ninanina

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, dann korrigiere ich mich mal:

$\begin{eqnarray*} -\frac{(x-y)*(x-y)-(x+y)*(x+y)+4xy}{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

nur die sache mit den vorzeichen ist mir nicht so ganz kalr...ich ahb doch extra drauf geachtet, die nicht zu verändern...

04.08.2011, 20:40

sulo

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Jetzt ist es auch richtig, prima. Freude

Freude

Nun musst du mal die Klammern auflösen, wobei du auch die Rechenzeichen vor den Klammern berücksichtigen musst.

edit: Allerdings sollte das Minus nicht vor den gesamten Bruch sondern nur vor den ersten Term. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.08.2011, 20:47

Ninanina

Auf diesen Beitrag antworten »

aufgelöst ergäbe das bei mir:

$\begin{eqnarray*} -\frac{x^2-2xy+y^2-x^2+2xy+y^2+4xy}{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

richtig?

04.08.2011, 20:50

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte das Minus vor dem Bruch lieber auf dem Bruch sehen, das wäre auch eben besser gewesen:

$\begin{eqnarray*} \frac{-(x-y)*(x-y)-(x+y)*(x+y)+4xy}{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

Und dann lassen wir lieber noch mal die Klammern um die ausmultiplizierten Terme stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{-(x^2-2xy+y^2) -( x^2+2xy+y^2) +4xy}{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

So, und jetzt kannst du die Klammern fallen lassen und die Vorzeichen entsprechend ändern. smile

smile

04.08.2011, 20:54

Ninanina

Auf diesen Beitrag antworten »

wie mienst du das mit "die vorzeichen entsprechend ändern"?
was muss denn da verändert werden?

04.08.2011, 20:56

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Na, wenn du ein Minus vor einer Klammer hast, bedeutet es, dass der gesamte Klammerinhalt subtrahiert werden soll.

Beispiel: a - (b + c + d)

Es sollen also b und c und auch d von abgezogen werden. Wenn du die Klammer auflöst, hast du also:

a - b - c - d

smile

smile

04.08.2011, 20:57

Ninanina

Auf diesen Beitrag antworten »

mir ist gerade doch noch ne idee gekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{-x^2+2xy-y^2-x^2-2xy-y^2+4xy}{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

war das so gemeint?

04.08.2011, 21:00

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so war es gemeint. Freude

Freude

Und nun fasse dies mal zusammen. smile

smile

04.08.2011, 21:02

Ninanina

Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin mir ja nicht so ganz sicher, aber ich würde mal so tippen:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2x^2-2y^2+4xy}{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

04.08.2011, 21:06

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist richtig. Freude

Freude

Und jetzt schau dir mal den Zähler genau an. Sortiere ihn mal ein bisschen um und überlege, ob du was ausklammern kannst.

smile

smile

04.08.2011, 21:09

Ninanina

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naja, also ich ahb ja zweimal -2, das könnte ich ja ausklammern, sodass rauskäme:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2(x-y)^2+4xy}{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

wenn man dann die jeweiligigen exponenten im nenner und im zähler wegließe, komme cih dem ergebnis chon sehr nahe, aber wie kriege ich die 4xy weg?

04.08.2011, 21:11

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, bei den 4xy könntest du eigentlich auch -2 ausklammern. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und keine Sorge, wir kommen schon zum richtigen Ergebnis. smile

smile

04.08.2011, 21:12

Ninanina

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wie kann man denn da die -2 ausklammern?

04.08.2011, 21:13

sulo

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+4xy = -2·(-2xy) smile

smile

04.08.2011, 21:19

Ninanina

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ich versuchs mal soweit zusammenzufassen:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2(x-y)^2+2*2xy}{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

richtig?

edit: FALSCH, mir ist ein fehler unterlaufen, cih machs nochmal, moment:

04.08.2011, 21:21

Ninanina

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so, entschuldige, wir wären dann soweit:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2(x-y)^2+2*-2xy}{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

dann könnte man ja die +2 und die-2 wegkürzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-y)^2*-2xy}{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

hab ich das so richtig gemacht?

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