brüche mit variablen

04.08.2011, 18:06

Ninanina

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brüche mit variablen

haaaallo,

desweiteren verzweifel ich mal wieder an ein paar brüchen mit variabelen:

1. $\begin{eqnarray*} \frac{5(x+y)}{6(x-y)}*\frac{18(x-y)^2}{25(x+y)^2} \end{eqnarray*}$

die lösung kenne ich bereits: $\begin{eqnarray*} \frac{3(x-y)}{5(x+y)} \end{eqnarray*}$
nur den weg dorthin find ich nicht...

2. $\begin{eqnarray*} (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})*(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}) \end{eqnarray*}$

durch die 3. binomische formel dachte ich eig., dass die lösung so aussehen müsste:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2-b^2}{b^2-a^2} \end{eqnarray*}$

aber mh, irgendwie scheint das ja falsch zu sein...

kann mir wer helfen?

edit: Nachdem ich jetzt zum dritten Mal in den Threadtiteln aus "variabelen" die "variablen" gemacht habe, hier mal der Hinweis, dass das e hinter dem b fehl am Platz ist.
LS sulo

04.08.2011, 18:25

tigerbine

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1. Schritt.
$\begin{eqnarray*} \frac{5(x+y)}{6(x-y)}*\frac{18(x-y)^2}{25(x+y)^2} \end{eqnarray*}$

Faktorisiere die 18 und die 25 geschickt. Was kann man also kürzen?

04.08.2011, 18:27

Ninanina

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was ist mit "faktorisieren" gemeint?

04.08.2011, 18:28

tigerbine

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Beispiel: 21=3*7.

04.08.2011, 18:32

Ninanina

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also dass ich die 25:5 und die 18:6 teile?

dann sähe das doch wiefolgt aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{3(x-y)^2}{5(x+y)^2} \end{eqnarray*}$

oder?

04.08.2011, 18:34

tigerbine

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Genau.25=5*5 und 18=3*6. Da können wir kürzen. Nun bist du aber zu schnell gewesen. Wir sind erstmal hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+y)}{(x-y)}*\frac{3(x-y)^2}{5(x+y)^2} \end{eqnarray*}$

Nun kann man auch bei den () kürzen. Wo steht da denn das gleiche... () und ()²

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04.08.2011, 18:45

Ninanina

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also parallelen bei dem, was in den klammern steht, findet sich einmal bei dem ersten bruch im zähler und bei dem zweiten im nenner und zum anderen bei dem 1. bruch im nenner und im 2. beim zähler...
aber wie bringt mich das weiter?

04.08.2011, 18:46

Alive-and-well

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ich misch mich mal ein ich hoffe die Tigerbine hat nichts dagegen :O

zu 2)

Du hast richtig erkannt, dass es sich um die 3. Binomische Formel handelt.
Diese Lautet:
$\begin{eqnarray*} (\alpha +\beta) * (\alpha -\beta ) = \alpha ^2 - \beta ^2 \end{eqnarray*}$

Du musst dir jetzt nur überlegen, was bei dir in der rechnung $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ist.

04.08.2011, 18:51

tigerbine

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Da ich noch online bin, eigentlich schon... Und hier muss man auch nicht über binomische Formeln gehen, zumal die dritte hier nicht angewendet wird. Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: Ah, du machst Aufgabe 2. Aber lass uns doch bitte erst die 1 fertig machen, dann kannst du die zweite von mir aus mit ihr machen. So kommen wir aber nur durcheinander.

Daher an Fragesteller: Nur eine Aufgabe pro Thread!

Ich sortiere den Bruch mal um, die Gundmenge [Aus was stammen die Buchstaben!] sollte kommutativ sein.

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{5} \cdot \frac{(x+y)}{(x+y)^2} \cdot \frac{(x-y)^2}{(x-y)} \end{eqnarray*}$

so, nun sieht man doch schön, wie gekürzt werden kann. wenn dir das ()² Probleme macht, dann schreibe es aus.

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{5} \cdot \frac{(x+y)}{(x+y)(x+y)} \cdot \frac{(x-y)(x-y)}{(x-y)} \end{eqnarray*}$

So, was bleibt nun stehen?

04.08.2011, 19:38

Ninanina

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also bei mir würde sich dann ergeben:

3
_ * (x+y)*(x-y)

5

04.08.2011, 19:39

Ninanina

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und damit hab ich dann ja schon die lösung, oder?

04.08.2011, 19:39

tigerbine

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Bin ich so nicht mit einverstanden. Du beachtest nicht, was steht im Nenner, was im Zähler.

04.08.2011, 19:49

Ninanina

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achso, stimmt...das müsste eher lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{5}*\frac{x+y}{x-y} \end{eqnarray*}$

das wiederum in einem bruch wäre:

$\begin{eqnarray*} \frac{3(x+y)}{5(x-y)} \end{eqnarray*}$

diesmal müsste es aber korrekt sein, oder?

04.08.2011, 19:59

tigerbine

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Nun hast du den richtigen Dreh erwischt. Toll, dass du an die Klammern gedacht hast. Freude

Freude

Zitat:

ch misch mich mal ein ich hoffe die Tigerbine hat nichts dagegen :O

zu 2)

Du hast richtig erkannt, dass es sich um die 3. Binomische Formel handelt.
Diese Lautet:
$\begin{eqnarray*} (\alpha +\beta) * (\alpha -\beta ) = \alpha ^2 - \beta ^2 \end{eqnarray*}$

Du musst dir jetzt nur überlegen, was bei dir in der rechnung $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ist.

Ihr könnt hier nun weitermachen. Wink

Wink

04.08.2011, 20:13

Ninanina

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ja das mit der 3. binomischen formel hab ich ir auch gedacht!ich würde sagen, dass alpha =a und beta = b ist!

ich hatte es oben ja schonmal versucht:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2-b^2}{b^2-a^2} \end{eqnarray*}$

richtig soweit?

04.08.2011, 20:22

sulo

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Ich springe für tigerbine ein, sie ist off und bat mich darum.

Wie wäre es, wenn du einfach die Brüche miteinander multiplizierst, wie man es bei den Klammertermen macht?

Ich fände es aber besser, wenn wir erst den anderen Thread zu Ende besprechen und dann hierher wechseln.

04.08.2011, 20:23

Ninanina

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alles klar... Big Laugh

Big Laugh

vielen dank, dass du mir so geduldig hilfst;D

04.08.2011, 22:41

sulo

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Hier haben wir doch wieder etwas Bekanntes vorliegen: $\begin{eqnarray*} (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})*(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}) \end{eqnarray*}$

Siehst du, was ich meine? Du hast die Formel ja schon genannt. smile

smile

04.08.2011, 22:44

Ninanina

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wie jetzt?!

also mienst du, dass man die aufgabe mit hilfe der binomischen formel zu $\begin{eqnarray*} \frac{a^2-b^2}{b^2-a^2} \end{eqnarray*}$ umwandeln aknn oder muss ich erst was anderes machen?

04.08.2011, 22:49

sulo

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Hmm, warum bastelst du da einen einzigen Bruch draus? verwirrt

verwirrt

04.08.2011, 22:49

Ninanina

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weil in meinen lösungen auch nur ein bruch stet und ich auch nicht wusste, was ich sonst hätte machen sollen!

04.08.2011, 22:52

sulo

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Berechne doch erst mal die Klammern, was kommt da raus? Schiele dabei nicht auf die Lösung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.08.2011, 22:55

Ninanina

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mh, das einzige, was ich daraus gewinnen könnte wäe:

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{b+a}*\frac{a-b}{b-a} \end{eqnarray*}$

meintest du das?

04.08.2011, 22:56

sulo

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Nein, diese Darstellung stimmt nicht ....

Berechne dann erst einmal: (a + b)(a - b)

Was kommt da raus?

smile

smile

04.08.2011, 22:58

Ninanina

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a^2-b^2

04.08.2011, 23:01

sulo

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Richtig.

Freude

Und warum sollte sich da viel ändern, bloß weil es Brüche sind?

Gehe von (a)² - (b)² aus und ersetze: a durch $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ und b durch $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a} \end{eqnarray*}$ smile

smile

04.08.2011, 23:04

Ninanina

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$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}^2-\frac{b}{a}^2 \end{eqnarray*}$

so etwa?

04.08.2011, 23:08

sulo

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Eher so: $\begin{eqnarray*} \left(\frac{a}{b}\right) ^2-\left(\frac{b}{a}\right) ^2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt kannst du noch die Klammern auflösen und die Potenz jeweils in den Zähler und den Nenner schreiben.

smile

smile

04.08.2011, 23:12

Ninanina

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$\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{b^2}-\frac{b^2}{a^2} \end{eqnarray*}$

so?

04.08.2011, 23:12

sulo

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Ja, so stimmt es. Freude

Freude

04.08.2011, 23:17

Ninanina

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super, aber wie kommt man jetzt davon auf $\begin{eqnarray*} \frac{a^4-b^4}{a^2b^2} \end{eqnarray*}$ ?

04.08.2011, 23:18

sulo

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Indem du einen gemeinsamen Nenner suchst und dann die beiden Brüche zusammenfasst. smile

smile

04.08.2011, 23:20

Ninanina

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okay, dass mein gemeinsamer nenner nur a^2b^2 sein kann, ist klar, was anderes kommt ja mehr oder weniger auch nicht infrage, wenn ich dass dann ausmultipliziere, also beim zähler jeweils 2.2 vor die variabele, kommt auch das richtige ergebnis^^ Big Laugh

Big Laugh

smile

smile

04.08.2011, 23:23

sulo

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Ich hoffe, ich habe das jetzt richtig verstanden, ich schreibe es noch mal auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{b^2}-\frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2\cdot a^2}{a^2b^2}-\frac{b^2\cdot b^2}{a^2b^2} =\frac{a^4-b^4}{a^2b^2} \end{eqnarray*}$

smile

smile

04.08.2011, 23:24

Ninanina

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ja, genau so hab ich es gemeint smile

smile

04.08.2011, 23:25

sulo

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Dann ist ja alles klar. smile

smile

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