Basiswechsel Verständnisfrage

05.08.2011, 20:41

omg_me

Basiswechsel Verständnisfrage

Moin zusammen. Wink

Ich hab mich heute wieder mal an LinAlg rangemacht und folgendes Verständnisproblem (bzw. eher Verwirrung, da in den Lösungen soweit ich das sehe irgendwas nicht ganz richtig ist):

Also: Ich habe folgende Basen $\begin{eqnarray*} U_1 = (a_1, a_2, a_3), U_2 = (b_1, b_2, b_3) \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ gegeben:

$\begin{eqnarray*} a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Basiswechselmatrix von der Basis $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ in die Standartbasis ist dann doch:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 && 0 && 1 \\ 1 && 1 && 1 \\ 1 && 1 && 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und die von der Basis $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ in die Standartbasis:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 && 0 && 2 \\ 3 && 4 && 4 \\ 1 && 1 && 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Das stimmt schon mal, oder?)

Nun soll ich aber noch die Basiswechselmatrix von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ berechnen.
Hier hab ich mir folgendes überlegt:
Ich geh von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ zurück in die Standartbasis, und von der Standartbasis nach $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ . Also wäre dies das folgende Matrixprodukt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 && 0 && 2 \\ 3 && 4 && 4 \\ 1 && 1 && 1 \end{pmatrix} ^{-1} \begin{pmatrix} 1 && 0 && 1 \\ 1 && 1 && 1 \\ 1 && 1 && 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 && -1 && 4 \\ \frac{-1}{2} && \frac{1}{2} && -1 \\ \frac{1}{2} && \frac{1}{2} && -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 && 0 && 1 \\ 1 && 1 && 1 \\ 1 && 1 && 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 && 3 && -1 \\ -1 && \frac{1}{2} && 0 \\ -1 && \frac{-3}{2} && 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nun der Grund für die (zusätzliche?) Verwirrung: In den Lösungen ist genau die Inverse dazu angegeben...
Wer hat Recht? verwirrt

Danke für die Aufklärung!
Grüsse
omg_me

05.08.2011, 22:25

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basiswechsel Verständnisfrage
1. Standard

2.Basiswechselmatrix von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ . Koordinaten U1 in SB in U2 umrechnen.

[Artikel] Basiswechsel

Also wenn mich meine Erkältung nicht völlig umnachtet, würde ich dir Recht geben. B2 sind dein U1 (V) und U2 (W). Als B1 habe ich die Standardbasis und weil im Grunde keine lin.Abbildung dazwischen ist, habe ich M1=Identität gesetzt. Bestätigt deine Ergebnisse.

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
44:
45:
46:

>> Basiswechsel
 
Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 3
Dimension von W: m= 3
 
Koordinaten der Basis 2 von V bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,1,1]
Vektor 2: [0,1,1]
Vektor 3: [1,1,0]
 
Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,3,1]
Vektor 2: [0,4,1]
Vektor 3: [2,4,1]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2 gegeben? 1
 
M = [1,0,0;0,1,0;0,0,1]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x
S =
     1     0     1
     1     1     1
     1     1     0
M1 =
     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1
TI =
         0   -1.0000    4.0000
   -0.5000    0.5000   -1.0000
    0.5000    0.5000   -2.0000

06.08.2011, 08:22

omg_me

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke soweit!

Um für noch mehr Verwirrung zu sorgen (so scheint es mir zumindest geschockt

), hab ich mich gestern noch folgendes überlegt:

Wenn man die Basiswechselmatrix von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ von rechts mit einem Basisvektor $\begin{eqnarray*} a_i \in U_1 \end{eqnarray*}$ multipliziert, sollte man ja den dazugehörigen Basisvektor $\begin{eqnarray*} b_i \in U_2 \end{eqnarray*}$ erhalten.

Dies ist jedoch passiert weder mit meiner Matrix, noch mit derjenigen in den Lösungen (war doch nicht die Inverse von meiner...).

Jedoch würde es mit der folgenden klappen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 && 0 && 2 \\ 3 && 4 && 4 \\ 1 && 1 && 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 && 0 && 1 \\ 1 && 1 && 1 \\ 1 && 1 && 0 \end{pmatrix} ^{-1} = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 2 \\ 3 && 4 && 4 \\ 1 && 1 && 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 && -1 && 1 \\ -1 && 1 && 0 \\ 0 && 1 && 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 && 1 && -1 \\ -1 && 5 && -1 \\ 0 && 1 && 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

verwirrt

Danke & GreeZ
omg_me

06.08.2011, 08:43

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Das verwundert mich nun nicht so sehr. Basiswechsel heißt ja, dass man die Koordinaten eines Vektors bzgl. einer Basis reingibt und die Koordinaten bezüglich der anderen rausbekommt.

Wir geben (1,0,0) bzgl. U1 rein. Da wäre es schon sehr verwunderlich, wenn (1,0,0) bzgl. U2 rauskommt. Denn der Vektor (1,0,0)_U1 wird je nach Basis (verschieden) i.d.R. auch andere Koordinaten haben.

06.08.2011, 08:58

omg_me

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mir schon klar, dass nicht der selbe i.d.R. nicht der selbe Vektor rauskommt. smile

Ich meine eigentlich, dass wenn ich z.B. $\begin{eqnarray*} a_1 \in U_1 \end{eqnarray*}$ (s. erster Post) mit meiner Matrix multipliziere, sollte ja $\begin{eqnarray*} b_1 \in U_2 \end{eqnarray*}$ rauskommen.

Also $\begin{eqnarray*} A \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
A ist hier die Basiswechselmatrix von U1 nach U2.

GreeZ
omg_me

06.08.2011, 09:08

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, denn die Richtungen stimmen doch nicht.

A: Koordinaten bzgl U1 -> Koordinaten bzgl. U2

Vektoren, die du willst:
Koordinaten von a1 bzgl. E in Koordinaten von b1 bzgl E.

Das sind verschiedene paar Schuhe.

06.08.2011, 09:11

omg_me

Auf diesen Beitrag antworten »

Klick

Ich glaub ez hab ichs (endlich?) kapiert...

Dankeschön!

06.08.2011, 09:38

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Woher stammen denn die Lösungen?

06.08.2011, 09:49

omg_me

Auf diesen Beitrag antworten »

Es sind Studentenlösungen (da es keine "offiziellen" Lösungen gibt).

06.08.2011, 09:54

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ok.

06.08.2011, 10:08

omg_me

Auf diesen Beitrag antworten »

Obwohl, ich glaube schon, dass die nochmals durgesehen werden.
Als ich die Übung abgeben musste, hatte ich zwar auch das selbe Ergebnis, das jetzt in der Studentenlösung drinsteht...
(und sie wurde damals als korrekt angesehen)

Warum fragst du, wenn ich fragen darf?

06.08.2011, 10:20

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn sich Lösungen nicht decken, immer ein Grund nach der Ursache zu suchen, oder?

06.08.2011, 10:33

omg_me

Auf diesen Beitrag antworten »

Recht hast du Big Laugh

Neue Frage »

Antworten »

Basiswechsel Verständnisfrage

Verwandte Themen