Konvergenz des Produkts der harmonische Reihe mit der harmonischen Folge

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Lisa2357 Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz des Produkts der harmonische Reihe mit der harmonischen Folge
Meine Frage:
Hallo liebe Mathe-Freunde,

ich schreibe gerade meine Bachelorarbeit und muss dafür zeigen, dass

gilt.

Meine Ideen:
Dass die Reihe konvergiert ist klar, aber ich kann es einfach nicht so abschätzen, dass ich die Konvergenz gegen Null zeige.

Ich hoffe, mir kann jemand helfen?

Gruß,
Lisa
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Benutze diese Abschätzung:
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Abgesehen von Imitation oder Benutzung des Cauchyschen Grenzwertsatz kann man folgende recht elementare Abschätzung vornehmen:

.

Aus dieser Abschätzung gewinnt man , also das Gewünschte.

Die obige Abschätzung kann man bestimmt sogar noch deutlich verfeinern.
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Oder
Lisa2357 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist ja doch nicht so schwer Augenzwinkern Ich danke euch allen!!!
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Obwohl schon jemand darauf hingewiesen hat:

Ganz allgemein folgt aus auch
 
 
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gonnabphd
Da noch niemand darauf hingewiesen hat:


tmo um 17:53 (Stichwort "Cauchyscher Grenzwertsatz") Augenzwinkern
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, hatte gar nicht gewusst, dass der Satz einen Namen hat!

Merci.
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
.


Hey, kann mir vielleicht einer einen Anstoss zur Begründung für diese Ungleichung geben, ich komme nicht drauf.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

@Ungewiss: Man muss sich dafür klarmachen, dass



Der Rest ist dann klar. Um diese Ungleichung zu sehen, malt man sich am besten die Punkte in einem Gitter hin. Die Produkte dieser Punkte sind symmetrisch bzgl. der Diagonalen. D.h. wenn man die Produkte unterhalb der Diagonalen addiert oder wenn man diejenigen oberhalb addiert, dann kommt das gleiche dabei raus. D.h.



Und das kann man dann benutzen. Vielleicht wird's klarer, wenn man's so hinschreibt:

Sei die Menge über die man summieren will. Dann gilt



wobei beim ersten Gleichheitszeichen benutzt wurde, dass M symmetrisch ist und beim zweiten lediglich die Namen geändert werden.

Eine alternative Möglichkeit für diese Abschätzung (welche sogar noch um einen Faktor 2 besser ist):

Betrachte

Edit (hatte ein paar 3en stehen wo 2en sein sollten):



und benutze die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung

leithian Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

da wir schon soviele schöne Ansätze gesammelt haben schlage ich auch noch einen Vor.

, denn . (sieht man am besten per Bild)

mfg
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »



Und damit steht das Ergebnis ja quasi schon da.

PS: Freut es sonst noch jemanden wie unterschiedlich die Lösungsansätze hier sind? Gerade den Ansatz von gonnabphd fand ich sehr inspirierend. Muss allerdings noch ein wenig drüber nachdenken... ;-)
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

@Grouser:
Zitat:

Und damit steht das Ergebnis ja quasi schon da.


Könntest du evtl. noch ein bisschen ausführen, weshalb das Ergebnis damit quasi schon dasteht? Irgendwie sehe ich's nicht.

Wink
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank gonnabphd für die umfangreiche Antwort! Ich werde sie mir gleich zu Gemüte führen.
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »

@gonnabphd

Für festes ist in streng monoton wachsend, und .
Für festes ist die Folge konvergente Nullfolge.

Der Rest folgt nun aus der Monotonie des Riemann-Integrals.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, danke. Freude
Nette Umformung! Augenzwinkern
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