Konvergenz des Produkts der harmonische Reihe mit der harmonischen Folge |
06.08.2011, 17:32 | Lisa2357 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Konvergenz des Produkts der harmonische Reihe mit der harmonischen Folge Hallo liebe Mathe-Freunde, ich schreibe gerade meine Bachelorarbeit und muss dafür zeigen, dass gilt. Meine Ideen: Dass die Reihe konvergiert ist klar, aber ich kann es einfach nicht so abschätzen, dass ich die Konvergenz gegen Null zeige. Ich hoffe, mir kann jemand helfen? Gruß, Lisa |
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06.08.2011, 17:48 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Benutze diese Abschätzung: |
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06.08.2011, 17:53 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Abgesehen von Imitation oder Benutzung des Cauchyschen Grenzwertsatz kann man folgende recht elementare Abschätzung vornehmen: . Aus dieser Abschätzung gewinnt man , also das Gewünschte. Die obige Abschätzung kann man bestimmt sogar noch deutlich verfeinern. |
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06.08.2011, 17:56 | Ungewiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oder |
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06.08.2011, 18:11 | Lisa2357 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist ja doch nicht so schwer Ich danke euch allen!!! |
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06.08.2011, 22:48 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Edit: Obwohl schon jemand darauf hingewiesen hat: Ganz allgemein folgt aus auch |
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06.08.2011, 23:34 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
tmo um 17:53 (Stichwort "Cauchyscher Grenzwertsatz") |
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06.08.2011, 23:44 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah, hatte gar nicht gewusst, dass der Satz einen Namen hat! Merci. |
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07.08.2011, 00:01 | Ungewiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey, kann mir vielleicht einer einen Anstoss zur Begründung für diese Ungleichung geben, ich komme nicht drauf. |
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07.08.2011, 01:00 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Ungewiss: Man muss sich dafür klarmachen, dass Der Rest ist dann klar. Um diese Ungleichung zu sehen, malt man sich am besten die Punkte in einem Gitter hin. Die Produkte dieser Punkte sind symmetrisch bzgl. der Diagonalen. D.h. wenn man die Produkte unterhalb der Diagonalen addiert oder wenn man diejenigen oberhalb addiert, dann kommt das gleiche dabei raus. D.h. Und das kann man dann benutzen. Vielleicht wird's klarer, wenn man's so hinschreibt: Sei die Menge über die man summieren will. Dann gilt wobei beim ersten Gleichheitszeichen benutzt wurde, dass M symmetrisch ist und beim zweiten lediglich die Namen geändert werden. Eine alternative Möglichkeit für diese Abschätzung (welche sogar noch um einen Faktor 2 besser ist): Betrachte Edit (hatte ein paar 3en stehen wo 2en sein sollten): und benutze die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung |
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07.08.2011, 01:50 | leithian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, da wir schon soviele schöne Ansätze gesammelt haben schlage ich auch noch einen Vor. , denn . (sieht man am besten per Bild) mfg |
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07.08.2011, 02:49 | Grouser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und damit steht das Ergebnis ja quasi schon da. PS: Freut es sonst noch jemanden wie unterschiedlich die Lösungsansätze hier sind? Gerade den Ansatz von gonnabphd fand ich sehr inspirierend. Muss allerdings noch ein wenig drüber nachdenken... ;-) |
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07.08.2011, 19:13 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Grouser:
Könntest du evtl. noch ein bisschen ausführen, weshalb das Ergebnis damit quasi schon dasteht? Irgendwie sehe ich's nicht. |
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07.08.2011, 20:55 | Ungewiss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank gonnabphd für die umfangreiche Antwort! Ich werde sie mir gleich zu Gemüte führen. |
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07.08.2011, 21:55 | Grouser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@gonnabphd Für festes ist in streng monoton wachsend, und . Für festes ist die Folge konvergente Nullfolge. Der Rest folgt nun aus der Monotonie des Riemann-Integrals. |
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08.08.2011, 01:35 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah, danke. Nette Umformung! |
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