Polynome und lineare Abbildung

07.08.2011, 23:57	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome und lineare Abbildung N'abend, Ich würde gerne diese Aufgabe lösen: [attach]20784[/attach] Mein Problem ist, sofern ich die Aufgabe richtig verstanden habe (Ich beziehe mich im Moment auf Aufgabenteil a) ), die Polynombasis aufzustellen. Ich bin folgendermaßen vorgegangen für n=2 (Für n=1, erübrigt sich das abdividieren und das Polynom ändert sich natürlich ein wenig): - Bilde allgemeines Polynom 2-ten Grades mit Nullstelle $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ - Divdiere $\begin{eqnarray} (x-x_1) \end{eqnarray}$ ab - Bilde nun hier Polynom mit Nullstelle $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ - Multipliziere wieder mit $\begin{eqnarray} (x-x_1) \end{eqnarray}$ um auf Polynom 2-ten Grades zu kommen Nun hat man die allgemine Form eines Polynoms mit den Nullstellen $\begin{eqnarray} x_1\text{, } x_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_2\cdot (x^2 - x\cdot (x_1+x_2)+x_1\cdot x_2) \end{eqnarray}$ Jetzt suche ich eine Basis für dieses Polynom. Ich dachte an die Monombasis, aber diese spannt ja ganz $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ auf. Das wäre wohl zu viel da mein Polynom offensichtlich nur eine Teilmenge von $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ ist. Und was mich noch interessiert, für n=3 und n >= 4 ist der Kern doch definitiv 0, weil es kein Polynom 2-ten Grades mit mehr als 2 Nullstellen geben kann?
08.08.2011, 00:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du suchst eine Basis für das Polynom - gibt es dann evtl. ein kanonisches Polynom, dass dieses Polynom erzeugt? Und ja, für n = 3,4 stimmt die Überlegung - über R/C wirste Schwierigkeiten haben ein Polynom zu finden, was 3,4 versch. NST hat.
08.08.2011, 01:10	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich überlege und bemühe googel, aber ich sehe immer wieder nur Basen für $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ Wie schon gesagt, als kanonische Basis für ein Polyonm 2-ten Grades fällt mir nur die Monombasis ein: $\begin{eqnarray} \{1, x, x^2\} \end{eqnarray}$ Aber diese spannt zu viel auf.
08.08.2011, 01:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \{a_2\cdot (x^2 - x\cdot (x_1+x_2)+x_1\cdot x_2)\} \end{eqnarray}$ Und was sagst du zu dieser Basis?
08.08.2011, 11:26	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop, ist linear unabhängig und spannt genau das auf. Wie banal! Hmm, dann gilt also für $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ schon mal, dass die Dimension des Kerns 1 ist. Nun bemühe man die Dimensionsformel: $\begin{eqnarray} \text{dim V} = \text{ dim Kern(L) } + \text{ dim Bild(L)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3 = 1 + \text{ dim Bild(L)} \Rightarrow \text{ dim Bild(L)} = 2 = \text{ dim }\mathbb{R}^2 \Rightarrow\text{ surjektiv} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \text{ dim Kern(L)} \neq 0\Rightarrow\text{ nicht injektiv} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow\text{ nicht bijektiv} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} 3 = 0 + \text{ dim Bild(L)}\Rightarrow \text{ dim Bild(L)} = 3=\text{ dim }\mathbb{R}^3\Rightarrow \text{ surjektiv} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{ dim Kern(L)} = 0\Rightarrow \text{ injektiv} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \text{ bijektiv} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\geq \end{eqnarray}$ 4: $\begin{eqnarray} 3 = 0 + \text{ dim Bild(L)}\Rightarrow \text{ dim Bild(L)} = 3\neq \text {dim } \mathbb{R}^n \Rightarrow \text{ nicht surjektiv} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{ dim Kern(L)} = 0\Rightarrow \text{ injektiv} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \text{ nicht bijektiv} \end{eqnarray}$ Insbesondere laut Skript: "Ist eine Abbildung linear und bijektiv, so ist die Abbildung ein Isomorphismus" Damit gilt sogar, dass für $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ isomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ ist. Meine Vermutung bestätigt sich also nicht, dass $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ isomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n\text{, } n\in\mathbb{N}\setminus \{0, 3\} \end{eqnarray}$ ist. Für n=1 ist noch eine Untersuchung zu machen. Geht das soweit klar?
08.08.2011, 12:16	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss doch noch was bemängeln. Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Dimension der Basis für den Kern für $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ richtig bestimmt habe. Laut der Argumentation von IfindU wäre auch: $\begin{eqnarray} \{a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2\} \end{eqnarray}$ eine Basis für $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ Die Basis ist jetzt die Anzahl der Elemente. Also hätte $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ die Dimension 1, was aber falsch ist. Hier passt irgendwas noch nicht.
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08.08.2011, 12:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das davor stimmt, nur das was du da hast ist keine Basis für P_2. Das Problem ist, um P_2 zu erzeugen brauchst du a_0, a_1 und a_2 variabel. Um eine Basis festzulegen, müssen diese aber feste Werte sein. Setze z.B. alle a einfach mal 1. Dann siehst du, dass du 1 + x + 2x^2 damit nicht mehr erzeugen kannst. Das a_2 in der von mir angegeben Basis wollte ich nur drin haben, damit ich sofort aus deinem kopieren kann und es deutlich wird, dass ich es getan habe. Streng genommen müsste man da a_2 = 0 erst einmal ausschließen, aber man kann es genauso auf 1 fixieren, da jedes andere Element Inverse in K hat. Edit: $\begin{eqnarray} \{a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2\|a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray}$ ist natürlich ein Erzeugendensystem, leider an überabzählbares, und auch wenn man sich daraus eine Basis basteln kann, indem man Elemente rausschmeißt, könnte das eine Weile dauern
08.08.2011, 12:46	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, jetzt ist alles klar. Ich danke dir vielmals!!!

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