Bogenlängenaufgabe

08.08.2011, 09:00

xpLoDe

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Bogenlängenaufgabe

Guten Morgen,
bin mitten in der Klausurvorbereitung und habe eine Frage zur folgenden Bogenlängen- Aufgabe:

Berechnen Sie die Bogenlänge des Graphen $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{4 - x^{2} } \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall [0,2]. Zeigen sie zunächst $\begin{eqnarray*} 1 + \left(\ (f'(x))^{2} \right) = \frac{4}{4 - x^{2} } \end{eqnarray*}$

Ich habe zunächst die gegebene Funktion abgeleitet

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4 - x^{2} } } \end{eqnarray*}$

Anschließend die Ableitung quadriert:

$\begin{eqnarray*} {(f'(x))^{2} = \frac{1}{4\left(4 - x^{2} \right) } = \frac{1}{16 - 4x^{2} } } \end{eqnarray*}$

Nun "1" addieren:

$\begin{eqnarray*} {1 + (f'(x))^{2} = 1 + \frac{1}{16 - 4x^{2} } } \end{eqnarray*}$

Ab diesem Schritt komme ich leider nicht weiter. Meine Vermutung ist, dass ich die Gleichung mit z.b. $\begin{eqnarray*} \frac{4x}{4x} \end{eqnarray*}$ (also 1) multiplizieren muss und den Ausdruck so umforme, dass ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{4}{4 - x^{2} } \end{eqnarray*}$ komme.

Bitte um Hilfe!

MfG

08.08.2011, 09:05

Johnsen

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Hi xpLoDe,

herzlich Willkommen im Mathe-Board!

Deine Ableitung ist nicht richtig, denn du vergisst nachzudiffernezieren, also du hast vergessen die Kettenregel anzuwenden. Du hat nur die äußere Funktion (Wurzel) abgeleitet, aber noch nicht das Argument in der Wurzel!

So kommst du dann zum richtigen Ergebnis, versuchs also nochmal.

Gruß

Johnsen

08.08.2011, 09:48

xpLoDe

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Hey, danke für die schnelle Antwort Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also nochmal die Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{2} \frac{- 2x}{\sqrt{4 - x^{2} } } = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^{2} } } <br /> \end{eqnarray*}$

Dann die Ableitung quadrieren:

$\begin{eqnarray*} f'{x^{2} } = \frac{x^{2} }{4 - x^{2} } <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 + f'{x^{2} } = 1 + \frac{x^{2} }{4 - x^{2} } = \frac{4 - x^{2} }{4 - x^{2}} + \frac{x^{2} }{4 - x^{2} } = \frac{4}{4 - x^{2} } \end{eqnarray*}$

Stimmt meine Rechnung?

08.08.2011, 09:54

Johnsen

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Freude

stimmt vollkommen, wenn du hier noch die Klammern schreibst ;-)

$\begin{eqnarray*} \left(f'(x)\right)^{2} = \frac{x^{2} }{4 - x^{2} } \end{eqnarray*}$

Gruß

Johnsen

08.08.2011, 10:02

xpLoDe

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... Und da muss ich Dich schon wieder nerven Big Laugh

Big Laugh

Muss jetzt die Stammfunktion ermitteln und darf dafür meine Papula Formelsammlung benutzen, find mich da aber nicht zurecht..

Die Bogenlänge lautet wie folgt:

$\begin{eqnarray*} s = \int_a^b \! \sqrt{1 + (f'(x))^{2}} \, dx;<br /> <br /> s = \int_0^2 \! \sqrt{\frac{4}{4 - x^{2} } } \, dx;<br /> s = \int_0^2 \! {\frac{2}{2 - x } } \, dx <br /> \end{eqnarray*}$

Finde aber jetzt keine passende Stammfunktion bzw. kann den Ausdruck nicht integrieren..

08.08.2011, 10:11

klarsoweit

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Du bist auch ein Verfechter der Regel $\begin{eqnarray*} \sqrt{a-b} = \sqrt a - \sqrt b \end{eqnarray*}$ ?

Kleiner Test mit a=4 und b=1: $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 = \sqrt{4-1} = \sqrt 4 - \sqrt 1 = 1 \end{eqnarray*}$

Ups!!! Was ist da bloß schief gegangen? verwirrt

verwirrt

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08.08.2011, 10:19

Johnsen

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Du kannst unter der Wurzel 4 ausklammern und dann etwas substituieren, damit du auf ein Grundintegral kommst. Ist nicht allzuschwer. Trotzdem muss die Wurzel bestehen bleiben! Klarsoweit hat dir ja vorgerechnet, dass da irgendwas nicht stimmen kann!

08.08.2011, 10:39

xpLoDe

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Schade, hilft mir alles nicht weiter..
Habs versucht mit Substitution u = 1 - x²

08.08.2011, 10:50

Johnsen

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$\begin{eqnarray*} s = \int_0^2 \! \sqrt{\frac{4}{4 - x^{2} } } \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt klammerst du in Zähler und Nenner etwas aus und versuchst es auf die folgende Form zu bekommen, die der uneren ja schon sehr ähnlich sieht:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx \end{eqnarray*}$

Jetzt fragst du dich vielleicht, warum ausgerechnet auf diese Form? Die Antwort ist, dass wir von diesem Integral die Lösung kennen und sie auch mit Sicherheit in deiner Formelssammlung steht, da dies ein Grundintegral ist!
Die Substitution die du machen musst, ist nicht sehr kompliziert!

Gruß

Johnsen

08.08.2011, 11:02

xpLoDe

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Auf $\begin{eqnarray*} 2 \int_0^2 \! \frac{1}{1 - x^{2} } dx \ \end{eqnarray*}$ bin ich gekommen, war aber nicht in der Lage zu sehen, das es sich um ein Grundintegral mit $\begin{eqnarray*} F(x) = arc \sin(x) \end{eqnarray*}$ handelt.

Sowas fällt mir in der Klausur sehr schwer und ich verliere daran viel Zeit und Punkte..

Danke!

08.08.2011, 11:04

Johnsen

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Zitat:

Auf $\begin{eqnarray*} 2 \int_0^2 \! \frac{1}{4 - x^{2} } dx \ \end{eqnarray*}$ bin ich gekommen.

Ja aber das stimmt ja nicht! Wo ist denn deine Wurzel?? Die darfst du doch nicht einfach weglassen!! Wenn dein Integral so aussehen würde, dann wäre die Lösung auch kein arcsin, sondern irgendwas mit ln(...).

08.08.2011, 11:05

xpLoDe

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Oh, Sorry !! Hab die Wurzel im Formeleditor vergessen, hab sie in der Berechnung stehen gelassen!!

08.08.2011, 11:09

Johnsen

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hm ... kam nämlich jetzt schon in den letzten Posts immer vor, dachte du hast sie weggelassen, damit es einfacher wird.

Hast du es geschafft auf diese Form zu bringen? Was kommt denn als Ergebnis der Integralrechnung heraus? Wie lautet die Substitution?

08.08.2011, 11:16

xpLoDe

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Bin jetzt bei :

$\begin{eqnarray*} 2 \int_0^2 \! \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} } } \, dx \Rightarrow s = 2 \left[arc\sin(x) \right]_{0}^{2} \end{eqnarray*}$

Muss ich den vorherigen Wurzelterm oder arc sin (x) substituieren?

08.08.2011, 11:27

Johnsen

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Nein, das Integral ist nicht richtig gelöst!

Fangen wir von vorne an:

$\begin{eqnarray*} s = \int_0^2 \! \sqrt{\frac{4}{4 - x^{2} } } \, dx \end{eqnarray*}$

Klammer unter der Wurzel in Zähler und Nenner 4 aus und kürze sofort:

$\begin{eqnarray*} s = \int_0^2 \! \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{x^2}{4}}} \, dx \end{eqnarray*}$

Und nun kommt deine Substitution, die muss wie lauten, damit wir auf:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\,du \end{eqnarray*}$

kommen? Tipp: $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{4}\,=\,\left(\frac{x}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Gruß

Johnsen

08.08.2011, 12:48

xpLoDe

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$\begin{eqnarray*} U = \frac{1}{2}x; \frac{du}{dx} = \frac{1}{2} \Rightarrow dx = 2du \end{eqnarray*}$

Grenzen: unten: $\begin{eqnarray*} u = 0 \end{eqnarray*}$
oben: $\begin{eqnarray*} u = \frac{2}{2} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_0^1 \! \frac{1}{1 - u²} \, dx \end{eqnarray*}$

08.08.2011, 12:57

Johnsen

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Hi!

Deine Substitution und deine Grenzen stimmen, aber wo ist denn wieder deine Wurzel? Nur wenn die Wurzel da ist, kommst du dann auf das Integral mit dem arcsin und dein Faktor 2 vom ersetzen von dx mit du fehlt ebenso! Außerdem heißt es dann im letzten Integral du und nicht dx !

08.08.2011, 13:28

xpLoDe

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Hi,

bin ja noch neu hier und mach dauernd Fehler mit dem Formeleditor Big Laugh

Big Laugh

jetzt versuch ichs mal richtig:

$\begin{eqnarray*} s = 2 \int_0^1 \! \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2} } } \, du<br /> <br /> \Rightarrow s = \left[arc \sin(u) \right]_{0}^{1} = 2 arcsin 1<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

08.08.2011, 13:32

Johnsen

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Das Ergebnis stimmt, man kann es aber noch viel schöner darstellen :-)

$\begin{eqnarray*} 2\cdot \arcsin(1)\,=\,... \end{eqnarray*}$

Was ist denn arcsin(1) (TR fragen) oder anders gefragt, wann ist sin(x) = 1?

Gruß

Johnsen

08.08.2011, 13:38

xpLoDe

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2 * 90° = 180°

Sinus = 1 bei pi/2 =)))

08.08.2011, 13:41

Johnsen

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Naja das mit den 90° lassen wir mal, wir haben ja hier keine Grad, die wir aus dem Integral bekommen.

Ich fasse zusammen:

$\begin{eqnarray*} s\,=\,2\cdot \frac{\pi}{2}\,=\,\pi \end{eqnarray*}$

Ein wunderschönes Ergebnis!

Gruß

Johnsen

08.08.2011, 13:42

xpLoDe

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Wirklich herrlich, ein Genuss Big Laugh

Big Laugh

Danke dir vielmals!!

08.08.2011, 13:45

Johnsen

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Gern geschehen Wink

Wink

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