Nachweis vom Ring der ganzen Gaußschen Zahlen

18.12.2006, 21:24	Rudy	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis vom Ring der ganzen Gaußschen Zahlen Hallo Leute. Der Ring der ganzen Gaußschen Zahlen sei \mathbb Z[i]:=\{x+iy:x,y\in \mathbb Z\} c \mathbb C. Ich soll nun zeigen, dass \mathbb Z[i] mit der komplexen Addition und Multiplikation einen Ring abbildet. Ich weiß wohl, dass ich bei einem Ring auf IR zeigen muss, dass es eine abelsche Gruppe ist, die Multiplikation assoziativ und distributiv ist. Nur was ist hier bei den komplexen Zahlen? Was ist da zu tun?
18.12.2006, 21:25	Rudy	Auf diesen Beitrag antworten »
Latex-Tags vergessen: $\begin{eqnarray} \mathbb Z[i]:=\{x+iy:x,y\in \mathbb Z\} \subset \mathbb C \end{eqnarray}$ Ich soll nun zeigen, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Z[i] \end{eqnarray}$ mit der komplexen Addition und Multiplikation einen Ring abbildet.
18.12.2006, 21:45	ich bin smile	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hast du denn schon so? Welche Ansätze hast du für das andere? Ich schätze, die komplexe Multiplikation wird schwerer zu beweisen. Na wie auch immer.
18.12.2006, 23:15	Rudy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Also ich habe bereits gerechnet, dass eine abelsche Gruppe vorliegt. (Ich machs mal etwas Lachs) (ab)c = a(bc) $\begin{eqnarray} ((x_1+iy_1)\circ(x_2+iy_2))\circ(x_3+iy_3) =(x_1+iy_1)\circ((x_2+iy_2))\circ(x_3+iy_3)) \end{eqnarray}$ Am Ende stimmt das. Dann habe ich gezeigt, dass a'a=e mit dem Inversen a (a') erfüllt ist. Ich habe für a' die Umkehrfunktion genommmen und hinterher kam die Identität heraus. Dann habe ich ea=a gerechnet. Wobei e die Identität x ist. Also x verknüpft mit (x+iy) Da alles erfüllt ist, liegt eine Gruppe vor. Sie ist sogar abelsch, da die Multiplikation sogar kommutativ ist. also $\begin{eqnarray} a\circ b = b \circ a \end{eqnarray}$ es kommt auf beiden Seiten die Identität heraus, stimmt also. Das sollt ihr jetzt auch gar nicht korrigieren, aber mein PRoblem liegt darin, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Z[i] \end{eqnarray*}$ mit der komplexen Addition und Multiplikation einen Ring abbildet. Habe ich eigentlich: "die Multiplikation assoziativ und distributiv ist. " gemacht? Ja, oder!? Aber komplex? Ich habe das ja jetzt nur normal wie bei den reellen Zahlen gemacht. Besten Dank schon mal! Rudy
20.12.2006, 16:44	Rudy	Auf diesen Beitrag antworten »
Darf ich daraus schließen, dass ihr alle bei dieser Aufgabe genauso verwirrt seid wie ich oder ist es Desinteresse an meine Aufgabe?
22.12.2006, 18:03	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast es insgesamt noch recht ungeordnet aufgeschrieben und nicht genügend überlegt, was zu zeigen ist. Der nächste Schritt wäre, da mehr Struktur in den Beweis reinzubringen. $\begin{eqnarray} \mathbb Z[i] \end{eqnarray}$ ist sicher Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ , d.h. über Kommutativgesetze usw. brauchst du dir keinen Kopf zu machen. Das was du zeigen musst, ist die Abgeschlossenheit der Operationen und ggf. die Existenz neutraler Elemente. Grüße Abakus
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