Extremwertaufgabe

09.08.2011, 07:41

xpLoDe

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Extremwertaufgabe

Morgen zusammen,

habe Probleme mit folgender Extremwertaufgabe:

Welcher Punkt des Graphen von $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{1 + x^{2} } \end{eqnarray*}$ hat den kleinsten Abstand vom Punkt $\begin{eqnarray*} \left(1,0\right) \end{eqnarray*}$ ?

Habe leider keinen Dunst, welche Haupt-/ Nebenbedingung ich aufstellen muss bzw. wie ich anfange.

Vielen Dank im Voraus!

09.08.2011, 07:47

pseudo-nym

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Du sollst einen kleinsten Abstand zwischen $\begin{eqnarray*} (x, f(x)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ finden. Wie groß ist dieser Abstand?

09.08.2011, 07:53

xpLoDe

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ja theoretisch (1,0) ... oder?

09.08.2011, 07:57

pseudo-nym

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Du meinst so wie der Abstand von München nach Berlin genau Berlin ist?

Ein Abstand ist eine reelle Zahl. $\begin{eqnarray*} (1,0) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist keine reelle Zahl.

09.08.2011, 08:33

xpLoDe

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ist wohl noch was früh.. ^^

habs mal gezeichnet.. Ich würde ein Quadrat an (1,0) und an den Punkt des kleinsten Abstands zu meiner Funktion zeichnen..?

09.08.2011, 08:54

pseudo-nym

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Zitat:

Original von xpLoDe
Ich würde ein Quadrat an (1,0) und an den Punkt des kleinsten Abstands zu meiner Funktion zeichnen..?

verwirrt

Also so kommen wir nicht weiter. Entweder du beschäftigst dich mit meinem Lösungsvorschlag und bringst eventuelle Unklarheiten zur Sprache, oder du formulierst selbst einen präzisen Plan, den ich dann auf Fehler überprüfe.
In obigem Satz weiß ich weder wo deiner Quadrate hinkommen sollen, noch wozu das führt.

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09.08.2011, 08:57

xpLoDe

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Habs jetzt folgendermaßen versucht:

Pythagoras, eine Seite (x-a), die andere (y-b) mit y = f(x).
$\begin{eqnarray*} <br /> r^{2} = \left(x-a\right)^{2} + \left(f(x) - b\right)^{2}<br /> <br /> r^{2} = \left(x-1\right) ^{2} + ( \sqrt{1 + x^2} -b)^2 = ... = x^2 - x + 2 \end{eqnarray*}$

Abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} <br /> <br /> y = f( \frac{1}{2} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}^2 } = \frac{\sqrt{5} }{2} \end{eqnarray*}$

09.08.2011, 09:10

pseudo-nym

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Also wenn du für b Null eingesetzt hast, dann vermute ich, hast einen Rechenfehler gemacht, denn:
$\begin{eqnarray*} \left(x-1\right) ^{2} + \sqrt{1 + x^2} \neq x^2 - x + 2 \end{eqnarray*}$

09.08.2011, 09:14

xpLoDe

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$\begin{eqnarray*} r^{2} = \left(x-1\right) ^{2} + ( \sqrt{1 + x^2} -b)^2 = x^2 - 2x + 1 + 1 + x^2 -0^2 = 2x^2 - 2x + 2 = x^2 - x + 1 \end{eqnarray*}$

09.08.2011, 09:18

phlowe

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das letzte gleicheitszeichen würde ich so jetzt nicht unterschreiben Wink

Wink

09.08.2011, 09:19

pseudo-nym

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Ah, ich hab das Quadrat übersehen.

Edit: Und dann auch nicht mehr hingesehen, lol.

Warum leitest du als nächstes ab?

09.08.2011, 09:33

xpLoDe

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Um den Extremwert auszurechnen .. f'(x) = 0, dann in y einsetzen.. ?!

09.08.2011, 09:41

pseudo-nym

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Aber du hast einen Extremwert vom Quadrat des Abstands bestimmt, woher weißt du, dass die Extremstellen von $\begin{eqnarray*} r^2(x) \end{eqnarray*}$ auch Extremstellen von $\begin{eqnarray*} r(x) \end{eqnarray*}$ sind?

09.08.2011, 09:53

xpLoDe

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Ach klar.. Also zuerst Wurzel ziehen und dann Ableiten..

$\begin{eqnarray*} r = \sqrt{x^2 - x + 1} <br /> r' = \frac{1}{2} \frac{2x - 1}{\sqrt{x^2 - x + 1} } <br /> = \frac{x-\frac{1}{2} }{\sqrt{x^2 - x + 1} } \end{eqnarray*}$

09.08.2011, 10:15

pseudo-nym

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Diese Vorgehensweise würde gehen.

09.08.2011, 10:19

Huggy

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Sicher würde das gehen, ist aber unnötig. Da r^2 für r >= 0 eine strenge monotone Funktion von r ist, haben r^2 und r ihr Maximum an derselben Stelle. Es genügt also, das Maximum von r^2 zu bestimmen. Ein altbekannter Trick, um Wurzeln zu vermeiden.

09.08.2011, 10:38

xpLoDe

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Habs grad anders versucht und direkt abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} r^2 = (x - 1)^2 + (\sqrt{1 + x^2} -0)^2<br /> r = x - 1 + \sqrt{1 + x^2} <br /> r' = 1 + \frac{1}{2}\frac{2x}{\sqrt{1 + x^2} } = 1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2} } = 1 + \frac{x}{(1 + x^2)^\frac{1}{2} } <br /> f'(x) = 0 : 1 + \frac{x}{\frac{1}{2} +x} = 0 \Rightarrow <br /> x = -1 \left(\frac{1}{2}+x \right) \Rightarrow x = \frac{-1}{2} -x; 2x = \frac{-1}{2}\Rightarrow x = -\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = f (-\frac{1}{4} = \sqrt{1 + (\frac{-1}{4}^2 } = \sqrt{1 + \frac{1}{16} } = \sqrt{\frac{17}{16}} = 1 + \sqrt{\frac{1}{16} } = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$

Ist das so korrekt? Mfg

09.08.2011, 11:12

Huggy

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Schon die zweite Zeile ist falsch. Die Regel

$\begin{eqnarray*} \sqrt {a+b}=\sqrt a +\sqrt b \end{eqnarray*}$

ist genau so beliebt wie falsch.

09.08.2011, 11:20

xpLoDe

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@ Huggy: Ich hätte mir also die Arbeit sparen können? Einfach r² ableiten, null setzen und ausrechnen und gut is?

09.08.2011, 11:27

Huggy

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So ist es!

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