Gruppe, NE?

09.08.2011, 15:56

martha.1981

Gruppe, NE?

Hallo. Scheine mal wieder auf dem Schlau zu stehen.

Auf ist: "Sei G eine Gruppe. Weisen Sie nach, dass das neutrale Element $\begin{eqnarray*} 1 \in G \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt ist und die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} 1 \cdot a \end{eqnarray*}$ = a für alle $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ erfüllt."

Okay, Eindeutigkeit: Betrachte neutrales Element 1', dann gilt $\begin{eqnarray*} 1\cdot a=1'\cdot a \end{eqnarray*}$ und da G ein Gruppe nach Vor ist, ex. Inv. Elem. $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ womit

$\begin{eqnarray*} 1=1aa^{-1}=1'aa^{-1}=1' \end{eqnarray*}$ gilt.

Aber bei "...und die Eigenschaft 1 · a = a für alle $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ erfüllt." verstehe ich nicht. So lautet doch bereits die Definition eines Neutralelements innerhalb der Gruppendefinition die nach Vor. als G ja bereits angenommen wird. Was soll ich denn da zeigen?

09.08.2011, 16:19

mathinitus

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Was für Gruppenaxiome habt ihr denn kennengelernt?

PS: Um die Eindeutigkeit des neutralen Elements zu zeigen, brauchst du noch keine Inversen, das gilt auch schon im Monoid.

09.08.2011, 17:41

martha.1981

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Ja, also das ist so. Eingeführt wurde: "Es gibt ein neutrales Element $\begin{eqnarray*} 1 \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \cdot 1 = a \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ .

Das heißt bevor ich einfach zeigen kann, dass wenn 1' NE in G ist, dass dann schon 1=1\cdot 1'=1' gilt muss ich erstmal zeigen, dass für alles a \in G auch $\begin{eqnarray*} 1 \cdot a = a \end{eqnarray*}$ gilt, das neutrale Element also kommutiert.

Will mir aber nicht gelingen. Ich habe einen ansatz, der bißchen doof is:

$\begin{eqnarray*} a\cdot 1 = a \Leftrightarrow (a\cdot 1) \cdot a = aa \Leftrightarrow aa=aa \Leftrightarrow aa=(a\cdot 1) \cdot a \Leftrightarrow aa = a\cdot (1\cdot a) \overbrace{\Leftrightarrow}^{*} a=1\cdot a \end{eqnarray*}$

An * kommt das aber nicht ohne inverse aus. Wie wird's gemacht?

m

09.08.2011, 17:46

mathinitus

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Aha, ihr habt also die 1 nur als rechtsneutrales Element eingeführt und nun ist zu zeigen, dass es auch linksneutral ist. Das kann man natürlich auch machen, dafür braucht man nun aber tatsächlich die Inversen. Dazu müsste ich nun einmal wissen, wie ihr die definiert habt. Auch nur die Existenz eines Rechtsinversen gefordert?

09.08.2011, 17:57

mathinitus

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Noch eine Sache zu deinen Äquivalenzumformungen. Du meintest ja, dass du nur für den Schritt mit dem Stern die Inversen brauchst. Das ist aber falsch, du brauchst sie für viel mehr Schritte, zum Beispiel auch für den ersten:

Zitat:

Original von martha.1981
$\begin{eqnarray*} a\cdot 1 = a \Leftrightarrow (a\cdot 1) \cdot a = aa \end{eqnarray*}$

Diese Aussage ist nur richtig, wenn a ein Rechtsinverses hat.

Ich würde empfehlen für diese ganzen Beweise nicht mit Äquivalenzumformungen zu arbeiten, sondern einen Term immer weiter mit ein paar Tricks umformen, bis man da ist, wo man hin will. In deinem Fall fängst du also mit 1*a an und formst das soweit um, bis du a raus hast (in einer Termumfornung, mit vielen Schritten). Verstehst du, was ich meine?

Ungefähr so:
$\begin{eqnarray*} 1 \cdot a = \dots = \dots = \dots = \dots = \dots = a \end{eqnarray*}$

09.08.2011, 19:20

martha.1981

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Okay, verstehe, danke soweit.

Ja, gefordert sind für die Gruppen nur Rechtsinverse (Ich hoffe das hab' ich richtig ausgedrückt). Also dann bin ich jetzt von hinten losgegangen:

Zeige $\begin{eqnarray*} aa^{-1}=a^{-1}a=1 \end{eqnarray*}$ denn $\begin{eqnarray*} a^{-1}a=(a^{-1}a)\cdot 1=(a^{-1}a)\cdot (a^{-1}(a^{-1})^{-1})=a^{-1}(aa^{-1})(a^{-1})^{-1}=(a^{-1}\cdot 1)\cdot (a^{-1})^{-1} = a^{-1}(a^{-1})^{-1}=1<br /> \end{eqnarray*}$

Okay und damit zeige ich
1. seien x,y inverse zu a, dann $\begin{eqnarray*} x=x\cdot 1=x\cdot (ay)=(xa)\cdot y = 1\cdot y = y \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} 1\cdot a = (aa^{-1})\cdot a=a\cdot (a^{-1}a)=a\cdot 1 \end{eqnarray*}$
3. seien 1 und 1' neutralelemente in G, dann $\begin{eqnarray*} 1=1\cdot 1'=1 \end{eqnarray*}$

Geht's besser?

Zu den Äquivalenzumformungen, dass $\begin{eqnarray*} a\cdot 1=a\Leftrightarrow (a\cdot 1)\cdot a=aa \end{eqnarray*}$ ohne Inverse auch nicht gilt. Wo brauche ich die denn? Vielleicht für die Rückrichtung. Ohne die Inverse würde NICHT gelten, dass $\begin{eqnarray*} a\cdot 1=a\Leftarrow (a\cdot 1)\cdot a=aa \end{eqnarray*}$ sondern nur $\begin{eqnarray*} a\cdot 1=a\Rightarrow (a\cdot 1)\cdot a=aa \end{eqnarray*}$ ?
Und würde das nicht schon reichen, für diesen speziellen Zweck?

gr. m.

09.08.2011, 19:43

mathinitus

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Zitat:

Original von martha.1981
Okay, verstehe, danke soweit.

Ja, gefordert sind für die Gruppen nur Rechtsinverse (Ich hoffe das hab' ich richtig ausgedrückt). Also dann bin ich jetzt von hinten losgegangen:

Zeige $\begin{eqnarray*} aa^{-1}=a^{-1}a=1 \end{eqnarray*}$ denn $\begin{eqnarray*} a^{-1}a=(a^{-1}a)\cdot 1=(a^{-1}a)\cdot (a^{-1}(a^{-1})^{-1})=a^{-1}(aa^{-1})(a^{-1})^{-1}=(a^{-1}\cdot 1)\cdot (a^{-1})^{-1} = a^{-1}(a^{-1})^{-1}=1<br /> \end{eqnarray*}$

Okay und damit zeige ich
1. seien x,y inverse zu a, dann $\begin{eqnarray*} x=x\cdot 1=x\cdot (ay)=(xa)\cdot y = 1\cdot y = y \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} 1\cdot a = (aa^{-1})\cdot a=a\cdot (a^{-1}a)=a\cdot 1 \end{eqnarray*}$
3. seien 1 und 1' neutralelemente in G, dann $\begin{eqnarray*} 1=1\cdot 1'=1 \end{eqnarray*}$

Geht's besser?

Ich habe nur einen kleinen Fehler gefunden (das war aber bestimmt nur ein Tippfehler):
Du meintest sicher: $\begin{eqnarray*} 1=1\cdot 1'=1' \end{eqnarray*}$

Ich habe mir folgenden Beweis überlegt (der ist vielleicht etwas kürzer):

$\begin{eqnarray*} 1=(a^{-1}a)(a^{-1}a)^{-1} = a^{-1}\cdot 1 \cdot a(a^{-1}a)^{-1} = a^{-1}aa^{-1}a(a^{-1}a)^{-1} = a^{-1}a((a^{-1}a)(a^{-1}a)^{-1})=a^{-1}a \end{eqnarray*}$
Also haben wir $\begin{eqnarray*} a^{-1}a=1=aa^{-1} \end{eqnarray*}$ und das, ohne zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ eindeutig ist.
$\begin{eqnarray*} a=a\cdot 1 = a a^{-1} a = 1 \cdot a \end{eqnarray*}$
Die Eindeutigkeit von $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ ist nun natürlich trivial zu beweisen.

Zitat:

Original von martha.1981
Zu den Äquivalenzumformungen, dass $\begin{eqnarray*} a\cdot 1=a\Leftrightarrow (a\cdot 1)\cdot a=aa \end{eqnarray*}$ ohne Inverse auch nicht gilt. Wo brauche ich die denn? Vielleicht für die Rückrichtung. Ohne die Inverse würde NICHT gelten, dass $\begin{eqnarray*} a\cdot 1=a\Leftarrow (a\cdot 1)\cdot a=aa \end{eqnarray*}$ sondern nur $\begin{eqnarray*} a\cdot 1=a\Rightarrow (a\cdot 1)\cdot a=aa \end{eqnarray*}$ ?
Und würde das nicht schon reichen, für diesen speziellen Zweck?

gr. m.

In deinem Fall hätte die Implikation gereicht, doch die Äquivalenz war falsch, bzw. es war keine Äquivalenzumformung.

09.08.2011, 21:00

martha.1981

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Ja voll gut. Danke für Deine Hilfe. Freude

09.08.2011, 21:03

mathinitus

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Gern geschehen.

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