Monoid, neutrales Element |
09.08.2011, 23:33 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Monoid, neutrales Element in diesem Thread habe ich ja schon gelernt, dass man für Gruppen nur ein linksneutrales und ein linksinverses Element fordert. Dann kann man zeigen, dass diese jeweils auch rechts- neutral/invers sind. Dies ist auch notwendig, um die Eindeutigkeit des neutralen Elementes nachzuweisen: Sei ein weiteres (links)neutrales Element mit : . Zuerst steht da nur "e", dann können wir ja problemlos " e' " links dranhängen, weil es linksneutral ist und das ist nur noch e', weil e rechtsneutral ist (muss eben erst gezeigt werden). Um zu zeigen, dass das Inverse von a eindeutig bestimmt ist, gehe ich mal davon aus, dass es außer noch ein gibt, dass invers zu ist mit : Hier fange ich mit a' an, e ist linksneutral, also ist das e•a'. Es ist e=a''•a, also a'=a''•a•a'=a'', weil a•a'=e. (a' ist auch rechtsneutral, muss man aber erst zeigen!) ------------------------------------------------------------------------------------- Nun zur eigentlichen Frage: Wie kann man die Eindeutigkeit des neutralen Elementes in einem Monoid zeigen ? Hier ist mein Problem, dass ich ja kein Inverses benutzen darf ! Vielen Dank für Tipps, hoffentlich habe ich mich verständlich ausgedrückt, |
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09.08.2011, 23:44 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Monoid, neutrales Element
Im Monoid reicht es eben nicht nur Linksneutralität zu fordern. |
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09.08.2011, 23:55 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aha! Man fordert also die Existenz eines Elementes, dass links- und rechtsneutral zugleich ist. Dann kann man die Eindeuigkeit des neutralen Elementes ja auch einfach zeigen: Forderung: a+e = e = e+a, für alle a aus M Dann nehmen wir wieder an, es gäbe ein . So folgt: . Also: Vielen Dank |
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10.08.2011, 09:00 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum nicht einfach so? |
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10.08.2011, 15:49 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, stimmt ja. Hier kann man ja wie in der Gruppe vorgehen ; ) Danke dir, |
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10.08.2011, 16:09 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sag mir doch einmal, was wir bei (*) und was wir bei (**) ausnutzen. |
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10.08.2011, 18:38 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier ist ja das neutrale Element, ein zweites. *: Wir sind im Monoiden. Da fordern wir für das neutrale Element Links- und Rechtsneutralität ! ist ja auch ein (angenommen anderes) neutrales Element im Monoiden, daher ist es ja auch ja rechtsneutral. Daher . **: ist ja auch ein neutrales Element, daher ist es ja linksneutral. Das muss man ja im Monoden fordern. Daher kann man schreiben: . Hoffe, dass das so richtig ist Freue mich über Rückmeldung |
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10.08.2011, 18:42 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig, oder kurz: (*) Rechtsneutralität von e' (**) Linksneutralität von e Edit: Das bedeutet, man kann die Monoidaxiome abschwächen, indem man fordert, dass es ein rechtsneutrales und ein linksneutrales Element gibt. |
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10.08.2011, 18:49 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, danke !
Also, dass man nicht genau ein links&rechts-neutrales Element fordert, sondern nur ein links&rechts-neutrales! Vielen Dank für Deine Hilfe! Mir ist wieder etwas klarer geworden! Pascal |
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10.08.2011, 19:11 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, noch schwächer, wir fordern nicht, dass die beiden gleich sind. |
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10.08.2011, 19:17 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich meinte eigentlich, dass man vom Übergang der Halbgruppe zum Monoiden insgesamt nur ein links- und rechts-neutrales Element fordert. |
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10.08.2011, 19:23 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jo, das meinte ich auch. |
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10.08.2011, 19:35 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, alles klar. Dann danke für deine Hilfe |
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