Monoid, neutrales Element

09.08.2011, 23:33

Pascal95

Monoid, neutrales Element

Hallo,

in diesem Thread habe ich ja schon gelernt, dass man für Gruppen nur ein linksneutrales und ein linksinverses Element fordert.
Dann kann man zeigen, dass diese jeweils auch rechts- neutral/invers sind.

Dies ist auch notwendig, um die Eindeutigkeit des neutralen Elementes nachzuweisen:
Sei $\begin{eqnarray*} e' \end{eqnarray*}$ ein weiteres (links)neutrales Element mit $\begin{eqnarray*} e'\neq e \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} e=e'\circ e=e' \end{eqnarray*}$ .
Zuerst steht da nur "e", dann können wir ja problemlos " e' " links dranhängen, weil es linksneutral ist und das ist nur noch e', weil e rechtsneutral ist (muss eben erst gezeigt werden).

Um zu zeigen, dass das Inverse von a eindeutig bestimmt ist, gehe ich mal davon aus, dass es außer $\begin{eqnarray*} a' \end{eqnarray*}$ noch ein $\begin{eqnarray*} a'' \end{eqnarray*}$ gibt, dass invers zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist mit $\begin{eqnarray*} a'\neq a'' \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} a'=e\circ a'=a''\circ a\circ a'=a''\circ e=a'' \end{eqnarray*}$
Hier fange ich mit a' an, e ist linksneutral, also ist das e•a'. Es ist e=a''•a, also a'=a''•a•a'=a'', weil a•a'=e. (a' ist auch rechtsneutral, muss man aber erst zeigen!)

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Nun zur eigentlichen Frage:
Wie kann man die Eindeutigkeit des neutralen Elementes in einem Monoid zeigen ?

Hier ist mein Problem, dass ich ja kein Inverses benutzen darf !

Vielen Dank für Tipps,
hoffentlich habe ich mich verständlich ausgedrückt,

09.08.2011, 23:44

mathinitus

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RE: Monoid, neutrales Element

Zitat:

Original von Pascal95
Nun zur eigentlichen Frage:
Wie kann man die Eindeutigkeit des neutralen Elementes in einem Monoid zeigen ?

Hier ist mein Problem, dass ich ja kein Inverses benutzen darf !

Vielen Dank für Tipps,
hoffentlich habe ich mich verständlich ausgedrückt,

Im Monoid reicht es eben nicht nur Linksneutralität zu fordern.

09.08.2011, 23:55

Pascal95

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Aha!

Man fordert also die Existenz eines Elementes, dass links- und rechtsneutral zugleich ist.

Dann kann man die Eindeuigkeit des neutralen Elementes ja auch einfach zeigen:

Forderung:
a+e = e = e+a, für alle a aus M

Dann nehmen wir wieder an, es gäbe ein $\begin{eqnarray*} e'\neq e: a+e'=e'=e'+a,\forall a\in M \end{eqnarray*}$ .
So folgt:
$\begin{eqnarray*} e+e'=e'=e'+e \end{eqnarray*}$ .
Also: $\begin{eqnarray*} e=e' \end{eqnarray*}$

Vielen Dank Wink

10.08.2011, 09:00

mathinitus

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Warum nicht einfach so?

$\begin{eqnarray*} e=e+e'=e' \end{eqnarray*}$

10.08.2011, 15:49

Pascal95

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Ja, stimmt ja.

Hier kann man ja wie in der Gruppe vorgehen ; )

Danke dir,

10.08.2011, 16:09

mathinitus

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$\begin{eqnarray*} e\overset{(*)}{=}e+e'\overset{(**)}{=}e' \end{eqnarray*}$

Sag mir doch einmal, was wir bei (*) und was wir bei (**) ausnutzen.

10.08.2011, 18:38

Pascal95

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Hier ist ja $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ das neutrale Element, $\begin{eqnarray*} e' \end{eqnarray*}$ ein zweites.

*: Wir sind im Monoiden. Da fordern wir für das neutrale Element Links- und Rechtsneutralität ! $\begin{eqnarray*} e' \end{eqnarray*}$ ist ja auch ein (angenommen anderes) neutrales Element im Monoiden, daher ist es ja auch ja rechtsneutral. Daher $\begin{eqnarray*} e=e+e' \end{eqnarray*}$ .

**: $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ ist ja auch ein neutrales Element, daher ist es ja linksneutral. Das muss man ja im Monoden fordern. Daher kann man schreiben: $\begin{eqnarray*} e+e'=e' \end{eqnarray*}$ .

Hoffe, dass das so richtig ist smile

Freue mich über Rückmeldung Wink

10.08.2011, 18:42

mathinitus

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Richtig, oder kurz:

(*) Rechtsneutralität von e'
(**) Linksneutralität von e

Edit: Das bedeutet, man kann die Monoidaxiome abschwächen, indem man fordert, dass es ein rechtsneutrales und ein linksneutrales Element gibt.

10.08.2011, 18:49

Pascal95

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Ok, danke !

Zitat:

Das bedeutet, man kann die Monoidaxiome abschwächen, indem man fordert, dass es ein rechtsneutrales und ein linksneutrales Element gibt.

Also, dass man nicht genau ein links&rechts-neutrales Element fordert, sondern nur ein links&rechts-neutrales!

Vielen Dank für Deine Hilfe!
Mir ist wieder etwas klarer geworden!

Pascal

10.08.2011, 19:11

mathinitus

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Nein, noch schwächer, wir fordern nicht, dass die beiden gleich sind.

10.08.2011, 19:17

Pascal95

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Ich meinte eigentlich, dass man vom Übergang der Halbgruppe zum Monoiden insgesamt nur ein links- und rechts-neutrales Element fordert.

10.08.2011, 19:23

mathinitus

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Zitat:

Original von Pascal95
Ich meinte eigentlich, dass man vom Übergang der Halbgruppe zum Monoiden insgesamt nur ein links- und rechts-neutrales Element fordert.

Jo, das meinte ich auch.

10.08.2011, 19:35

Pascal95

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Ok, alles klar.

Dann danke für deine Hilfe Wink

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