Eigenvektor

10.08.2011, 08:11

xpLoDe

Eigenvektor

Guten Morgen,

habe eine Frage zur folgenden Aufgabe:

Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ so, dass

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & 3 & 0 \\ a & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$ den Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda = 3 \end{eqnarray*}$ hat. Wie lauten für dieses $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda = 3 \end{eqnarray*}$ dann die Eigenvektoren?

Meine Idee

$\begin{eqnarray*} det ( A - \lambda E ) = \begin{pmatrix} a & 3 & 0 \\ a & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-3 & 3 & 0 \\ a & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nach Sarrus folgt : $\begin{eqnarray*} a - 6 + 6a = 0 \Rightarrow 7a = 6 \Rightarrow a = \frac{6}{7} \end{eqnarray*}$

Meine Frage

Wie bestimme ich nun für dieses $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda = 3 \end{eqnarray*}$ die Eigenvektoren?

Vielen Dank im Voraus! smile

10.08.2011, 08:18

klarsoweit

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RE: Eigenvektor

Zitat:

Original von xpLoDe
Nach Sarrus folgt : $\begin{eqnarray*} a - 6 + 6a = 0 \Rightarrow 7a = 6 \Rightarrow a = \frac{6}{7} \end{eqnarray*}$

Kann es sein, daß du dich da verrechnet hast?

Und ab damit in die Algebra.

10.08.2011, 08:28

xpLoDe

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Ohja, recht haste =)

$\begin{eqnarray*} (a-3)2 + 6a = 0 \Rightarrow 2a - 6 + 6a = 0 \Rightarrow 8a = 6 \Rightarrow a = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

10.08.2011, 08:35

klarsoweit

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RE: Eigenvektor
Die Frage nach den Eigenvektoren verstehe ich jetzt nicht. Du brauchst doch nur dieses a in $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a-3 & 3 & 0 \\ a & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einsetzen und den Kern bestimmen.

10.08.2011, 08:54

Jeremy124

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RE: Eigenvektor
Überlege dir genau, was du überhaupt rechnest!

Du suchst $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} det(A(a) - \lambda I) = 0 \end{eqnarray*}$

Warum? Weil $\begin{eqnarray*} det(A(a)- \lambda I) = 0 \iff \ker( A(a) - \lambda I) \ne \{ 0 \} =: \text{Eig}(A(a),\lambda) \end{eqnarray*}$ .

Warum nochmal $\begin{eqnarray*} \ker( A(a) - \lambda I) \ne \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ ?
Weil Eigenvektoren von $\begin{eqnarray*} A(a) \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ suchen, sprich wir suchen
$\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ , so dass
$\begin{eqnarray*} A(a) v - \lambda v = 0 \iff (A(a) - \lambda I) v = 0 \iff v \in \ker( A(a) - \lambda I) \end{eqnarray*}$

Wenn du dich nicht verrechnet hast, hast du ja jetzt dein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , sodass
der Eigenraum von A zum Eigenwert 3 nicht trivial ist. Jetzt berechne eine Basis dazu Freude

10.08.2011, 09:47

xpLoDe

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versteh grad nur Bahnhof..

Mit $\begin{eqnarray*} det (A - \lambda E) \end{eqnarray*}$ habe ich doch mein a bestimmt!?

10.08.2011, 09:54

klarsoweit

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RE: Eigenvektor
Hier ist der Weg zur Lösung:

Zitat:

Original von klarsoweit
Die Frage nach den Eigenvektoren verstehe ich jetzt nicht. Du brauchst doch nur dieses a in $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a-3 & 3 & 0 \\ a & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einsetzen und den Kern bestimmen.

Schade, daß immer mehrere Köche in einem Brei rumrühren. unglücklich

10.08.2011, 10:02

xpLoDe

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Danke dir, war schon ganz verunsichert Big Laugh

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