Abbildung der Einheitskugel auf R²

11.08.2011, 15:21	Steve1337	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung der Einheitskugel auf R² Meine Frage: Ich soll herausfinden ob sich die Einheitskugel auf eine unendliche Fläche, also R², abbilden lässt, bzw ob die Einheitskugel genauso mächtig ist wie R². Meine Ideen: Bisher bin ich nnur so weit, dass die Mächtigkeit von R² gleich der Mächtigkeit aller reellen Zahlen ist. Zur Mächtigkeit der Einheitskugel ist mir leider nichts eingefallen und auch meine Recherche hat bis jetzt nichts ergeben.
11.08.2011, 15:24	phlowe	Auf diesen Beitrag antworten »
bin da selber kein experte, aber hattet ihr untermannigfaltigkeiten?
11.08.2011, 15:29	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst einen halben Einheitskreis um den Ursprung bijektiv auf die Gerade (1;r) abbilden. Die Abbildung würde dann jeden Punkt p auf dem halben Einheitskreis auf den Schnittpunkt abbilden, den die Gerade (1;r) mit der Ursprungsgerade durch p hat.
11.08.2011, 15:42	Steve1337	Auf diesen Beitrag antworten »
@phlowe: nein hatte ich noch nicht. Das ganze ist so eine art knobelaufgabe die ich für zwischendurch bekommen hab @JdPL: Kann man das denn einfach so auf die Einheitskugel übertragen, und gilt das dann auch für die ganze Kugel?
11.08.2011, 15:53	phlowe	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, dann ohne untermannigfaltigkeiten. ich stell mir grad eine halbkugel vor. wenn jetzt jeder Punkt einfach nach unten auf die eben projeziert wird, das heißt die höheninformation wird 'gelöscht' hätten wir eine bijektion auf den kreis mit radius 1. jetzt nehmen wir uns einfach die andere hälfte und projezieren die von mir aus auf einen kreis der daneben liegt. dann hätte wir eine bijektion von der einheits sphäre in zwei kreisförmige mengen. wobei die eine offen und die andere abgeschlossen ist. hilft dir das erstmal? oder möchtest du diese abbildung jetzt so "modifizieren" dass sie als bildmenge komplett $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{2} \end{eqnarray}$ hat?
11.08.2011, 15:59	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein gutes Stichwort: Stereographische Projektion. Dann bleibt nur noch das Problem, den "Nordpol" der Kugel abzubilden. Um das zu tun musst du die Stetigkeit opfern. air
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11.08.2011, 16:01	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Es funktioniert für eine halbe Einheitskugel und eine Ebene genauso. (Allerdings fehlen im Einheitskreis zusätzlich die beiden Punkte (0;-1); (0;1); in der Einheitskugel entsprechend der ganze Kreis (0,y,z) mit y²+z²=1) Dass man eine unendliche Menge um 2 Elemente vergrößern kann, ohne das sich die Mächtigkeit vergrößert hatten wir mal, aber den formellen Beweis habe ich gerade nicht im Kopf. Hier eine Abbildung f((x,y)), von dem Halbkreis zum Kreis ohne (0;-1) und (0;1): Der Halbkreis ist eine Menge von Punkten (x,y) mit x>0; x²+y²=1; also ist y²<1. oBdA kannst du y Binär darstellen mit $\begin{eqnarray} y= \pm B_0,B_1 B_2 B_3... \end{eqnarray}$ f((x,y)) = (x, $\begin{eqnarray} \pm B_0, B_2 B_3... \end{eqnarray}$ ), wenn $\begin{eqnarray} B_1=0 \end{eqnarray}$ f((x,y)) = (-x, $\begin{eqnarray} \pm B_0, B_2 B_3... \end{eqnarray}$ ), wenn $\begin{eqnarray} B_1=1 \end{eqnarray}$ Analog geht das auch mit Kugeln, allerdings mit mehr Schreibarbeit.
11.08.2011, 16:35	Steve1337	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke an alle das hilft mir enorm, insbesondere die Stereographische Projektion leuchtet mir ein Steve

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