Orthonormalbasis

11.08.2011, 18:33

IngNano

Orthonormalbasis

Hallo,

lassen sich alle Vektoren zu ONBasen kombinieren? Wenn nein, wie erkenne ich das, ohne immer alles nachzurechnen oder geht das nicht anders?

Danke

11.08.2011, 18:36

Grouser

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Wenn die Vektoren linear unabhängig sind lässt sich mit dem Schmidtschen ON-Verfahren eine ONB zu ihrem Aufspann kostruieren.

12.08.2011, 12:23

IngNano

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Und wie soll man hier vorgehen? Das sind 4 Vektoren mit 4 Komponenten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\0 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danke

12.08.2011, 12:31

Mazze

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Diese Vektoren bilden keine Basis des R^4 , können also nicht zu einer ONB umgeformt werden. Etwa sind die ersten 3 Vektoren linear Abhängig.

12.08.2011, 13:38

IngNano

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Doch:

In der Lösung steht, dass dies eine ist:

$\begin{eqnarray*} w1=v4=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}, w2= \frac{1}{\sqrt{2} } \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}, w3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wie komme ich darauf? Außerdem ist es schon vorgegeben, dass alle Vektoren im Untervekorraum des R4 sind.

12.08.2011, 14:06

Mazze

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Zitat:

Doch:

Nein tun sie nicht. Hast Du nicht gelesen was ich geschrieben habe ? Diese vier Vektoren bilden keine Basis des R^4. Das was Du da angibst , ist eine ONB des von den Vektoren aufgespannten Untervektorraumes des R^4. Das ist etwas anderes und darüber hast Du kein Wort verloren.

Zur Lösung :

Eine Basis des Unterraumes aus den vier Vektoren auswählen.
Auf diese Basis den Gram-Schmidt-Algorithmus anwenden.

12.08.2011, 14:26

IngNano

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Sry,

aber wieso bilden sie alle 4 zusammen keine Basis im R4? Sie sind doch linear unabhängig.

12.08.2011, 14:32

Mazze

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\\0 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Damit sind sie linear Abhängig.

12.08.2011, 16:09

IngNano

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Kann man als Basis des Untervekorraums v1,v3,v4 nehmen?

12.08.2011, 16:11

Mazze

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Ja, das geht. Du könntest auch v_1,v_2,v_4 nehmen. Sprich, die Wahl ist nicht eindeutig, aber Du sollst ja auch nur eine ONB berechnen Augenzwinkern

.

Jetzt verwende Gram-Schmidt!

12.08.2011, 17:03

IngNano

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Also bei mir kommt das heraus:
$\begin{eqnarray*} v1=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \\1 \end{pmatrix}, v3= \frac{1}{2} \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \\-1 \end{pmatrix}, v4=\frac{1}{\sqrt{2} } \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0\\\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist aber überhaupt nicht die selbe Lösung. Kann das sein? Ich dachte in den Vektoren muss immer 1 stehen.

12.08.2011, 17:27

Mazze

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Zitat:

Ich dachte in den Vektoren muss immer 1 stehen.

Wie kommst Du darauf ? Eine ONB ist eine Basis, in der alle Vektoren paarweise orthogonal sind und jeder Vektor Norm 1 hat bezüglich des Skalarproduktes dass die Norm induziert.

Dein Vektor v_4 hat übrigens nicht Norm 1. Zudem sind v_1 und v_4 nicht orthogonal. Zeig doch mal deine Rechnung!

12.08.2011, 18:22

IngNano

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Hier meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} v1=\frac{w1}{||w1|| } \Rightarrow \frac{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1²+1²+1²+1²} } = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v3'= w3-<v1,w3>v1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix}-<\begin{pmatrix} 0,5\\ 0,5 \\ 0,5 \\0,5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\\0 \end{pmatrix}> \begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,5 \\ 0,5 \\0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0,5 \\ 0,5 \\ 0,5 \\-0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v3=\frac{v3'}{||v3'|| } \Rightarrow \frac{\begin{pmatrix} -0,5\\ 0,5 \\ 0,5 \\ -0,5\end{pmatrix} }{\sqrt{0,5²+0,5²+0,5²+0,5²} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v4'=w4-<v1,w4>v1-<v2,w4>v2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v4'=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\0\end{pmatrix} -<\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,5 \\ 0,5\\0,5 \end {pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\\0 \end{pmatrix} >\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,5 \\ 0,5 \\0,5\end{pmatrix} -<\begin{pmatrix} -0,5 \\ 0,5 \\ 0,5\\-0,5 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\0\end{pmatrix} >\begin{pmatrix} -0,5 \\ 0,5 \\ 0,5\\-0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v4= \frac{v4'}{||v4'|| }=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\0\end{pmatrix} -<\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,5 \\ 0,5\\0,5 \end {pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\\0 \end{pmatrix} >\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,5 \\ 0,5 \\0,5\end{pmatrix} -<\begin{pmatrix} -0,5 \\ 0,5 \\ 0,5\\-0,5 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\0\end{pmatrix} >\begin{pmatrix} -0,5 \\ 0,5 \\ 0,5\\-0,5 \end{pmatrix}=\frac{\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0 \\ 0 \\0,5 \end{pmatrix}}{\sqrt{0,5} } \end{eqnarray*}$

12.08.2011, 18:46

Mazze

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Die ersten beiden Vektoren hast Du richtig bestimmt. Beim dritten Vektor hast Du die letzte Zeile falsch berechnet. Achte mal genau auf die Vorzeichen!

12.08.2011, 20:04

IngNano

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Nur die letzte Zeile?

Also ich habe jetzt nur einen Vorzeichenfehler gefunden: $\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0\\ 0\\ -0,5 \end{pmatrix}}{\sqrt{0,5} } \end{eqnarray*}$

12.08.2011, 20:06

Mazze

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Jetzt haste ne ONB smile

13.08.2011, 11:30

IngNano

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Aber was soll dann die Lösung sein, die ich zuerst aufgeschrieben habe? Das sind doch andere Vektoren.

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