Gruppe - Affine Abbildung

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Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe - Affine Abbildung
Hallo,

mit

Ich möchte zeigen das es sich hierbei um eine Gruppe handelt.

1. Existenz einer Verknüpfung.

Ich dachte mir da eine affine Abbildung die Form hat, definiere ich mir zwei sollcher Abbildungen.



Hat wieder die Form einer affinen Abbildung.

2. kommutativität.

nun müsste ich mir ja drei affine Abbildungen definieren,



Nun muss ich zeigen das gilt,



Ich würde nun so vorgehen,



Kann ich nun so vorgehen, dass ich einfach die Abbildungen einsetze und die beiden Seiten vergleiche? verwirrt
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst benutzen, dass die entsprechenden Regeln auf den reellen Zahlen gelten.
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »

edit: zu langsam
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du ich müsste noch mit angeben das diese Abbildungen für

gilt?

Ich würde so vorgehen,















Ist es so gemeint? verwirrt
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hangman
Meinst du ich müsste noch mit angeben das diese Abbildungen für

gilt?

Ich verstehe die Frage nicht.

Deine Rechnung ist im Prinzip (bis auf ein paar nicht geschlossene Klammern) okay. Aber ich würde das nach dem Schema aufschreiben. Außerdem kannst Du noch anmerken, welche Rechenregeln Du für die reellen Zahlen an den jeweiligen Stellen benutzt.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke für die Hilfe. Ich werde weiter dran arbeiten...


hangman! smile
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Rein technisch gesehen gibt es vielleicht anzumerken, dass es in diesem Fall sinnvoll ist, zunächst erst gar nicht zu benutzen, dass es es sich um affine Abbildungen handelt. Denn ALLE Abbildungen von R nach R bilden zunächst ja zumindest mal einen Monoid bzgl. der Komposition, d.h. Assoziativität und neutrales Element hast du schonmal.

Was du dann zeigen musst:

Die Identität ist affine Abbildung.
Eine affine Abbildung ist invertierbar (sofern die entsprechende Einschränkung gemacht wurde) und die Inverse ist wieder eine affine Abbildung.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch eine Frage, wenn man eine Menge Wobei eine Gruppe bildet.
Da ja nun die Existenz einer Verknüpfung gefordert ist, klappt das doch nur mit der Komposition nachzuprüfen. Werden bei Abbildungen die Gruppenaxiome immer per Komposition geprüft? Das würde ja heißen das eine Abbildung maximal eine Gruppe sein kann da die Komposition ja nicht kommutativ ist...

Kann mir die Fragen jemand beantworten? verwirrt
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt auch andere Verknüpfungen, z.b.
.

Abgesehen davon kann die Komposition von Abbildungen unter bestimmten Bedingungen kommutativ sein, diese gilt es daher immer zu prüfen Augenzwinkern
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, also könnte eine Gruppe auch so aussehen,

wobei



Dann könnte ich ja



Wäre das Gruppenaxiom der Existenz einer Abbildung nun in diesem Fall erfüllt? Die Abbildung liefert ja keine neue affine Abbildung... verwirrt
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »

Für deine Gruppe wäre das eine innere Verknüpfung, aber du meinst ja eine ganz andere Menge, nämlich: .

Auf dieser Menge ist die Verknüpfung selbstverständlich keine innere Verknüpfung.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Solangsam verstehe ich. Es kommt immer darauf an, welche Verknüpfung man sich definiert. Die Gruppenaxiome gelten stets anders.


Bei weiteren Fragen werde ich mich melden.
Vielen Dank!


hangman smile
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine kleine Frage habe ich, spricht man von symmetrischer Gruppe wenn gilt,



Dann wäre beispielshalber ja die
eine symmetrische Abbildung und auch Gruppe?
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »

Erst einmal: Wie kann eine einzige Funktion eine Gruppe sein? Da fehlt ja zumindest mal die innere Verknüpfung und dann wird das Ganze ziemlich unsinnig.

Außerdem: Den Begriff symmetrische Gruppe kenn ich nur im Zusammenhang mit Permutationen (die Menge aller Permutationen auf einer n-elementigen Menge).
Und dann ist es nicht eine symmetrische Gruppe, sondern DIE symmetrische Gruppe. Vielleicht meinst du sie ja, sie steht zumindest nicht im Widerspruch zu deiner Beschreibung.

Die Identität ist in der symmetrischen Gruppe, falls das deine Frage war.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »



Dann definiere ich die Gruppe





Dann ist innerhalb dieser Gruppe zum Beispiel die Identität vorhanden wobei die Identiät symmetrisch ist. Darf man es so sagen? verwirrt
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du denn mit symmetrisch?

Und ja, die Identität wäre Teil dieser Gruppe. Allerdings ist dies NICHT die symmetrische Gruppe (da ).
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, den Unterschied habe ich gerade verstanden. Die Abbildung gehört zu dieser Gruppe ist aber per se keine Gruppe. Danke! smile
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast mich nicht verstanden Augenzwinkern

Die von dir definierte Gruppe ist NICHT die symmetrische Gruppe aus genannten Gründen... Von der Abbildung war an dieser Stelle nicht die Rede.
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