Eigenvektor bestimmen

15.08.2011, 00:53

jaybe89

Eigenvektor bestimmen

Hallo,
Bin grade ein bisschen an Mathe dran und hänge an einer Sache fest:
Habe folgende Matrix gegeben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -4 & 4 \\ 2 & -4 & 4 \\ 2 & -4 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun ergeben sich daraus zwei Nullzeilen, womit ich y und z frei wählen kann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\alpha-2\beta \\ \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun will ich die Eigenvektoren für den Eigenvektor "-2" herausfinden.
Die Algeb. Vielfachheit ist 2. Damit müsste ich 2 Eigenvektoren herausfinden.
Aber ich komme min. auf vier, die die Gleichung erfüllen:

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Wo liegt mein Denkfehler?
Ist glaub ich ziemlich einfach aber ich komme nicht weiter.

Gruß
Jo

15.08.2011, 00:55

IfindU

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RE: Eigenvektor bestimmen
Der Denkfehler ist zu glauben es gibt nur 2 Stück - es gibt i.A. unendlich viele!

Der Eigenraum hat Dimension 2, d.h. es gibt eine Basis mit 2 Eigenvektoren, die den ganzen Eigenraum aufspannen, aber im Span liegen natürlich alle Linearkombinationen der beiden.

(Anmerkung: Erster Vektor minus zweiter Vektor ist schon der dritte Vektoren.)

15.08.2011, 10:32

jaybe89

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Danke IfindU ! Freude

Das heißt als Lösung müsste ich mir einfach zwei aussuchen ?

15.08.2011, 10:51

klarsoweit

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Nun ja, die sollten aber auch linear unabhängig sein. Augenzwinkern

15.08.2011, 11:18

jaybe89

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Ich stehe gerade ziemlich auf dem Schlauch. Frische das ganze im Moment wieder auf, deswegen hängts noch ein wenig.

Wie überprüfe ich auf Lineare Unabhängigkeit?
Wiki: Man bildet eine nxn Matrix und die Determinante darf nicht 0 sein. Dann sind die Vektoren linear unabhängig.

Jetzt habe ich hier vier Vektoren für den Eigenwert "-2". Dann bilde ich eine 3x3 Matrix mit drei der vier Vektoren. Da kriege ich heraus, dass alle abhängig voneinander sind.

Und außerdem suche ich doch auch nur zwei Vektoren und nicht drei.

15.08.2011, 11:34

klarsoweit

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Punkt 1: wenn du das Verfahren zur Bestimmung von Eigenvektoren korrekt durchgeführt hättest, würdest du ganz automatisch 2 linear unabhängige Vektoren erhalten.

Punkt 2: wie man von einem Haufen von Vektoren diejenigen rausfiltert, die linear unabhängig sind, sollte auch allgemein bekannt sein. Zur Auffrischung:
Man schreibe die Vektoren zeilenweise in eine Matrix und bringe sie auf Zeilenstufenform. Die Nicht-Nullzeilen als Vektoren geschrieben bilden dann ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

15.08.2011, 11:52

jaybe89

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zu Punkt 1:
Wo liegt mein Fehler?
Richtig ist doch schon einmal soweit folgendes:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\alpha-2\beta \\ \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Nun würde ich für Alpha und Beta jeweils 1 nehmen. Dann hätte ich schon einmal einen Eigenvektor. Und den zweiten ?

zu Punkt 2:
Freude

Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix},v_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.08.2011, 12:04

klarsoweit

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RE: Eigenvektor bestimmen

Zitat:

Original von jaybe89
Wo liegt mein Fehler?
Richtig ist doch schon einmal soweit folgendes:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\alpha-2\beta \\ \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Nun würde ich für Alpha und Beta jeweils 1 nehmen.

Fehler will ich jetzt nicht sagen, aber einfach zu kompliziert. Der Witz liegt an dieser Stelle:

Zitat:

Original von jaybe89
Nun ergeben sich daraus zwei Nullzeilen, womit ich y und z frei wählen kann:

Und da wählt man einmal y=1 und z=0 und einmal y=0 und z=1. Und schwupps hast du eine Basis des Lösungsraums. Augenzwinkern

15.08.2011, 12:52

jaybe89

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Ja natürlich Hammer

Jetzt hab ichs wieder. Danke, Danke, Danke! Freude

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