Basis 2x2 Matrizen

15.08.2011, 22:05

Tarsuinn

Basis 2x2 Matrizen

Ich soll zu folgenden Matrizen A, B, C, D eine Basis finden, ist mein Weg so richtig, und wie ist das Ergebniss zu interpretieren?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -5 & 7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -7 \\ -5 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hab dan folgene Matrix aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -5 & 1 & -7 \\ -4 & -1 & -5 \\ 2 & 5 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Matrix C habe ich gestrichen da sie eine Kombination von A+B ist

Durch umformen komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 6 & -2 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann wird D gestirchen weil es eine Kombi von A + B ist

Danach wird Zeile 3 und 4 gestrichen da diese auch Kombinationen sind und über bleibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre das dann die Basis?

15.08.2011, 22:58

Cel

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Hallo.

Meiner Meinung nach rechnest du gerade nach, ob diese Matrizen linear unabhängig sind - was sie nicht sind, bekommst du auch heraus.

Mein Tipp (vielleicht geht es auch anders): Interpretiere die Matrizen als Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ . Zum Beispiel wäre

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ -4 & 2\end{pmatrix} \leftrightarrow \begin{pmatrix}1 \\ -5 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Und mit diesen Vektoren kannst du doch ganz einfach eine Basis bestimmen, nicht? Augenzwinkern

Danach kannst du dann wieder die Vektoren des IR^4 in 2x2 - Matrizen zurücktransformieren.

16.08.2011, 17:50

Tarsuinn

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Das ist doch das was ich gemacht habe, ich eliminiere erst alle abhänigen Teile um nur noch die übrig zu haben die lin. Unabhänig sind und somit die Basis bilden.

Wenn das was ich gemacht habe falsch ist wie sieht dann die Basis aus?

16.08.2011, 18:01

Cel

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Na, wie gesagt, du hast lediglich überprüft, ob diese Matrizen linear abhängig sind (also die drei, die du ausgewählt hast).

Bringe für meine Methode folgende Matrix auf Zeilenstufenform:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & -5 & -4 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 5 \\ 1 & -7 & -5 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.08.2011, 18:01

Keff91

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Sollst du aus den gegebenen Matrizzen eine Basis der 2x2 Matrizzen finden?
Habe ich das richtig verstanden?

16.08.2011, 20:03

Tarsuinn

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Zitat:

Original von Keff91
Sollst du aus den gegebenen Matrizzen eine Basis der 2x2 Matrizzen finden?
Habe ich das richtig verstanden?

Ja die Matrizen sind Teil aller 2x2 Matrizen und zu dieser Teilmenge soll eine Basis ermittelt werden

16.08.2011, 20:14

Keff91

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Ich verstehe das Problem immernoch nicht.
eine Basis von was? Ich kenne nur Basen für Unterräume und Vektorräume.

16.08.2011, 20:14

Tarsuinn

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Zitat:

Original von Cel
Na, wie gesagt, du hast lediglich überprüft, ob diese Matrizen linear abhängig sind (also die drei, die du ausgewählt hast).

Bringe für meine Methode folgende Matrix auf Zeilenstufenform:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & -5 & -4 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 5 \\ 1 & -7 & -5 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Komme da auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -5 & -4 & 2 \\ 0 & 6 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann gehts nicht weiter

16.08.2011, 20:16

Tarsuinn

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Zitat:

Original von Keff91
Ich verstehe das Problem immernoch nicht.
eine Basis von was? Ich kenne nur Basen für Unterräume und Vektorräume.

Ja und diese Matrizen sind doch auch ein Unterraum aller 2x2 Matrizen da sie eine Teilmenge davon sind, also haben sie auch eine Basis, oder?

edit:

Sei M_22 der Raum aller 2x2 Matrizen. Sei mit W ein Raum W € M_22 gegeben der erzeugt wird durch die oben genannten Matrizen dann ermitteln Sie dazu die Basis

16.08.2011, 20:23

Keff91

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Ja, das hat gefehlt.
Eine endliche Teilmenge, die nicht {0} ist, kann doch niemals ein Unterraum sein.
So verstehe ich das Problem Freude

Ich werde evtl gleich antworten.

16.08.2011, 20:27

Tarsuinn

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Zitat:

Original von Keff91
Ja, das hat gefehlt.
Eine endliche Teilmenge, die nicht {0} ist, kann doch niemals ein Unterraum sein.
So verstehe ich das Problem Freude

Ich werde evtl gleich antworten.

Sorry

16.08.2011, 21:51

Keff91

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Also ich würde dann weiter wie Cel gesagt hat, verfahren.

Bestimme eine Basis des Unterraums aufgespannt durch die 4 Vektoren!

16.08.2011, 22:49

Cel

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Zitat:

Original von Tarsuinn
Komme da auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -5 & -4 & 2 \\ 0 & 6 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann gehts nicht weiter

Erst mal: Richtig umgeformt. So, und jetzt hast du eine Basis. Transformiere die Zeilenvektoren wieder zu Matrizen und du bist fertig. Schau dir dazu noch mal an, wie ich von Matrix zu 4D-Vektor gekommen bin.

Hätte ich dir von Anfang an nur die Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ gegeben, hättest du ja hier auch aufgehört. Augenzwinkern

17.08.2011, 13:38

Tarsuinn

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Zitat:

Original von Cel

Zitat:

Original von Tarsuinn
Komme da auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -5 & -4 & 2 \\ 0 & 6 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann gehts nicht weiter

Ok also müsste man das dann wieder in eine Form 2x2 bringen und die Basis wäre dann:

$\begin{eqnarray*} Basis=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$

17.08.2011, 13:55

Cel

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Joa, genau so ist das! Freude

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