Theorem von Takens

16.08.2011, 00:23

Ibn Batuta

Theorem von Takens

Folgendes Theorem habe ich gegeben:

Let $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ be a compact manifold of dimension $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ . For pairs $\begin{eqnarray*} (\phi, y) \end{eqnarray*}$ with $\begin{eqnarray*} \phi\in \text{Diff}^2(M) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y \in C^2(M,\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ , it is a generic property that the map $\begin{eqnarray*} \Phi_{\phi,y}\colon M\to \mathbb{R}^{2m+1} \end{eqnarray*}$ , defined by $\begin{eqnarray*} \Phi_{\phi,y}(x)=(y(x),y(\phi(x)),...,y(\phi^{2m}(x))) \end{eqnarray*}$ is an embedding.

Mir ist noch nicht so sonderlich klar, warum es eine generic property sein soll. Weiß jemand Rat?

Ibn Batuta

18.08.2011, 00:47

Ibn Batuta

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Auch wenn ich gerade im Urlaub bin, die Antwort auf die obige Frage würde mich noch immer brennend interessieren. Big Laugh

Ibn Batuta

18.08.2011, 17:51

gonnabphd

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Ich hab keine Antwort für dich, aber es scheint mir schon einiges mit dem Whitney embedding theorem bzw. dem Whitney approximation theorem zu tun zu haben.

Letzteres besagt im Spezialfall, dass M kompakt ist, dass es für jede Funktion $\begin{eqnarray*} f: M^m \to \mathbb R^{2m+1} \end{eqnarray*}$ und jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ eine injektive Immersion gibt, welche $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -nah zur ursprünglichen Funktion ist.

Zusammen mit der Kompaktheit folgt also dass die Menge aller Einbettungen dicht im Funktionenraum liegt.

Das zeigt zwar noch nicht wirklich, dass es eine generic property (wie ich gelesen habe bedeutet das so viel wie "das Komplement der Menge der Funktionen mit dieser Eigenschaft ist mager im Bairschen Sinne") ist, dass Funktionen Einbettungen sind, aber es bringt einen zumindest einen Schritt dorthin.

Die erwähnten Theoreme findest du in Lee, "Introduction to Smooth Manifolds".

Wink

Vielleicht könntest du ja auch noch sagen, wo dein Theorem zu finden ist?

16.09.2011, 11:39

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von gonnabphd
Vielleicht könntest du ja auch noch sagen, wo dein Theorem zu finden ist?

Hi gonnabphd,

das Theorem findest du hier, B2 Embedding Dynamical Systems (The Central Theorems), S. 373:
http://books.google.de/books?id=gHRTG-N-...0map%22&f=false

Leider kann ich da auch nicht alle Seiten sehen.

Ibn Batuta

25.09.2011, 17:20

Ibn Batuta

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Hey gonnabphd,

mir fällt's grad ein, weil ich dich online seh. Augenzwinkern

Vielleicht magst du mir ja bei dieser Sache (noch) helfen.

Ibn Batuta

25.09.2011, 19:06

gonnabphd

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Hi,

Da es mich selbst auch interessiert, schau ich mir das gerne mal genauer an. Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, was deine Frage genau ist?

Also eine generic property ist es wohl, weil man folgendes hat: Die Menge

$\begin{eqnarray*} \{(y,\phi) \in C^2(M^m,\mathbb R^{2m+1})\times \mathrm{Diff}(M) \, |\, \Phi_{\phi,y} \text{ ist Einbettung} \} \end{eqnarray*}$

ist offen und dicht in $\begin{eqnarray*} C^2(M^m,\mathbb R^{2m+1})\times \mathrm{Diff}(M) \end{eqnarray*}$ .
Wie ich gerade lese, hat die Menge aller Tupel, welche die Eigenschaft nicht erfüllen, in einem gewissen Sinne sogar Mass 0 (gemäss diesem Artikel).

Aber ich kenne den Beweis zum Theorem (noch) nicht, so dass ich inhaltlich wenig sagen kann.

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