Werte für das LGS ermitteln für genau eine Lösung

16.08.2011, 18:37

Cybron

Werte für das LGS ermitteln für genau eine Lösung

Hallo,

habe im Formeleditor keinen tag für einen erweiterte matrix gefunden.
jedenfalls soll ich für a werte finde damit das LGS genau eine Lösung hat.

ein Inhomogenes LGS hat genau dann eine exakte lösung wenn der Rang gleich dem der anzahl der Variablen entspricht. leider bekomme ich beim gaus verfahren probleme a zu beseitigen, überhaupt die sache bringt mich durcheinander.

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} -1 & a & -1 = 0 \\ 0 & 2 & -1 = 1 \\ 2 & 1-a & 3 = 2 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

es klemmt hier:

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} -1 & a & -1 = 0 \\ 0 & 2 & -1 = 1 \\ 0 & 1+a & 1 = 2 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

mir fällt gerade nichts ein wie ich den unteren dreieck hinbekomme.

16.08.2011, 20:34

WaechterT

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Rechenhänger?

Wenn du die Einträge $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1+a) \end{eqnarray*}$ voneinander abziehen willst und es haut gar nix hin, dann wirst du als letzte Lösung wohl anfangen müssen, die entsprechenden Zeilen mit dem jeweils anderen Eintrag multiplizieren, also zweite Zeile mal $\begin{eqnarray*} (1+a) \end{eqnarray*}$ und dritte Zeile mal $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ...

Kommst du damit weiter?

17.08.2011, 08:47

klarsoweit

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RE: Werte für das LGS ermitteln für genau eine Lösung

Zitat:

Original von Cybron
ein Inhomogenes LGS hat genau dann eine exakte lösung wenn der Rang gleich dem der anzahl der Variablen entspricht.

Alternativ - falls du das Thema Determinante schon hattest - kannst du die Determinante der Matrix bestimmen. Für die Existenz einer eindeutigen Lösung muß diese ungleich Null sein.

17.08.2011, 13:00

WaechterT

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Oder, da du es deinem Anfangspost nach über Matrixränge machen willst die Lieblingsdefinition unseres Profs:
eindeutig lösbar, wenn der Rang der Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1 & a & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 2 & 1-a & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
gleich dem Rang der erweiterten Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1 & a & -1 & | & 0 \\ 0 & 2 & -1 & | & 1 \\ 2 & 1-a & 3 & | & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ist.

Aber dein erstes Posting klang so als hättest du schon eine Eindeutigkeitsdefinition, nach der du vorgehen willst und hättest nur gerade eine Blockade beim ausrechnen der Dreiecksform gehabt.

17.08.2011, 13:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von WaechterT
die Lieblingsdefinition unseres Profs:
eindeutig lösbar, wenn der Rang der Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1 & a & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 2 & 1-a & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
gleich dem Rang der erweiterten Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1 & a & -1 & | & 0 \\ 0 & 2 & -1 & | & 1 \\ 2 & 1-a & 3 & | & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ist.

Das ist in dieser Form falsch. Wenn der Rang der Ausgangs-Matrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist, dann ist das LGS lediglich lösbar. Aber hier geht es um die Frage einer eindeutigen Lösung.

17.08.2011, 13:58

Keff91

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Stimme klarsoweit absolut zu, so hat dein Prof es bestimmt nicht gesagt, sondern so
wie klarsoweit Freude

17.08.2011, 15:37

Cybron

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Also die Eigenschaften der LGS sind mir bekannt, ich habe/hatte wirklich Probleme beim eliminieren. ich werde morgen erneut ähnliche aufgaben rechnen und schauen ob vergleichbare fälle auftreten die mich beim Gauß stören.

als Student der wirtschaft rechnen wir ohne Determinanten smile

18.08.2011, 12:56

Cybron

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um die aufgabe mal abzuschließen

$\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \frac {1}{a+3} \begin{pmatrix} 4a-3 \\ 3 \\ 3-a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

danke

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