Suche dritten Eckpunkt in einem Dreieck (Vektoren)

17.08.2011, 08:54

B00bietrap

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Suche dritten Eckpunkt in einem Dreieck (Vektoren)

Meine Frage:
Hallo

Ich hab schon ne weile nicht mehr mit Vektoren gearbeitet und sitze seit ner weile auf der leitung :S

Habe 2 Punkte A(x1/y1) und B(x2/y2) eines beliebeigen Dreickes und die Seiten CA und AB. Ist es möglich die Koordinaten des Punktes C(x3/y3) zu berechnen?

Das Dreieck kann sich in allen 4 Quadranten aufhalten.

Meine Ideen:
Habens mit der umstellung des Kosinussatzes versucht. Hatte aber zur Folge eine Gleichung mit 2 Unbekannten, was auch nicht ideal ist. :S

Jemand n Tipp wie es zu Lösen wäre?
greets B00bietrap

17.08.2011, 09:34

Healther

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Guten Morgen wenn du statt AB BC meinst ja, ansonsten fehlt dir eine Information.

Was ist denn die konkrete Aufgabenstellung?

17.08.2011, 09:46

B00bietrap

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Oh, mein Fehler.

Ich habe noch den Winkel beim Punkt A.

Hab das mal versucht zu Visuell darzustellen.

[attach]20870[/attach]

Bitte lade Bilder immer mit "Dateianhänge" hoch; damit sind sie von einem externen Link unabhängig. Danke, Gualtiero

Die Rotation des Dreiecks kann variieren.

Koordinaten von A und B habe ich und die Länge der Strecken CA und AB.
Auch der WInkel bei A ist vorhanden mit 87°

Nun benötige ich die Koordinaten von C.
Da ich es im Java löse, muss es rechnerisch gelöst werden... und da haperts grad schwer...

Ist das möglich?

greez B00bie

17.08.2011, 09:52

Healther

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Du hast den Winkel CAB und die Entfernung CA.
Mit dem Winkel bekommst du die Richtung und mit der Entfernung die Länge der Seite. Damit hast du doch C eindeutig bestimmt.
Oder willst du es ausrechnen?

Btw. Da in der Mathematik immer linksrum gedreht wird ist das doch sogar eindeutig

17.08.2011, 09:59

B00bietrap

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es müsste rechnerisch gelöst werden, absolut ohne Visuelle hilfe, da ich es im Java verwende. Konnte leider keinen Lösungsansatz im Internet finden...und auch mit dem Kosinussatz bin ich ned weitergekommen.... darum bin ich hier^^

17.08.2011, 10:21

Healther

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Gut es gibt grundsätzlich zwei Möglichkeiten:

a) Du machst es mittels zweier Funktionsgeraden. Dabei gilt für den Winkel zwischen der Geraden und der x-Achse immer
$\begin{eqnarray*} m = tan(\alpha) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y = m \cdot x + b \end{eqnarray*}$

oder

b) Du löst es über Vektoren (ist vermutlich einfacher)
Für den Winkel zwischen zwei Vektoren gilt: $\begin{eqnarray*} cos (\alpha) = \frac{\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} }{|\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}| \cdot |\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} |} \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du halt noch die zwei Geradengleichungen aufstellen (a) bzw. die beiden Vektoren AB und AC (b)

Hoffe das hilft dir weiter

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17.08.2011, 10:45

B00bietrap

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Die Formel for den Winkel zwische 2 Vektoren haben wir. allerdings mit 3 Punkten gerechnet.^^

Könnte es sein, dass deine Formel von einem Nullpunkt ausgeht? z.B. dass A 0/0 ist?

hmm... bei uns ist 0/0 oben links im bild... folglich könnte man annehmen, dass unser dreieck im 4. Quadranten ist und dort irgend eine rotationsposition einnehmen kann.

Ich glaub deine Formel lässt sich nicht umformen, dass C(x/y) dabei rauskommt. oder bin ich komplett aufm Holzweg?

Sorry für all die Fragen... aber da befind ich mich in einem Bereich von Mathe der mein Wissen n bissle übersteigt >.<

aber ich glaube wir kommen dem ganzen näher Big Laugh

Big Laugh

17.08.2011, 11:12

riwe

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mit
$\begin{eqnarray*} cos\alpha_1=\frac{\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \cdot\overrightarrow{AB}}{|AB|} \end{eqnarray*}$
hast du für

$\begin{eqnarray*} y(B)\geq y(A): \quad{ }\overrightarrow{OC}= \overrightarrow{OA}+|AC|\cdot\begin{pmatrix} cos(\alpha+\alpha_1) \\sin(\alpha+\alpha_1) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und das kann man leicht für beliebige winkel erweitern Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.08.2011, 11:18

Healther

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Nein die Formel geht von dem Verbindungsvektor zwischen den zwei Punkten aus.

$\begin{eqnarray*} cos (\alpha) = \frac{\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} }{|\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}| \cdot |\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} |} \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} v_1 = a_1 - b_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_2 = a_2 - b_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_1 = a_1 - c_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_2 = a_2 - c_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha = 87° \end{eqnarray*}$

Daraus kannst du dann c_1 und c_2 isolieren und somit auch berechnen. Dadurch, dass die beiden auch im Nenner stehen wirds zwar etwas umständlicher aber ist immer noch machbar.
Alternativ dazu kannst du es auch über zwei Geradengleichungen lösen. Du stellst zunächst die Gerade AB auf. Dann die Gerade AC (über den Winkel) und über die Entfernung bekommst du den Punkt C.

17.08.2011, 11:20

René Gruber

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Ich finde die ganzen Winkelbetrachtungen unnötig kompliziert: Wenn schon die Koordinaten der zwei Punkte $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ gegeben sind und die Koordinaten des dritten Punktes $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ gesucht sind, warum dann nicht einfach eine reine Koordinatenrechnung über

$\begin{eqnarray*} (x_3-x_1)^2 + (y_3-y_1)^2 &=& |CA|^2 \\ (x_3-x_2)^2 + (y_3-y_2)^2 &=& |AB|^2 \end{eqnarray*}$ .

Wie üblich würde man über die Betrachtung der Differenz der beiden Gleichungen (wodurch die quadratischen Terme $\begin{eqnarray*} x_3^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_3^2 \end{eqnarray*}$ verschwinden) eine Variable (z.B. $\begin{eqnarray*} y_3 \end{eqnarray*}$ ) eliminieren können, so dass am Ende eine quadratische Gleichung in der anderen Variablen (dann also $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ ) übrigbleibt und zu lösen ist. Das ergibt i.a. zwei mögliche Eckpunkte $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ , wovon bei angenommenen positiven Orientierungssinn der Punkte $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ einer ausgeschlossen werden kann.

17.08.2011, 11:24

Healther

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@Rene Gruber: Die Entfernung BC ist aber unbekannt, wie willst du dann über Abstandsbetrachtungen den Punkt C bestimmen? Dir fehlt ja eine Information, die aber eben über den Winkel gegeben ist.
Wenn es noch eine weitere Methode gibt den Winkel zu nutzen, würde mich die interessieren, da wir in der Schule nur die beiden Zusammenhänge, die ich genannt hatte, gelernt haben

17.08.2011, 11:27

René Gruber

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Ich hatte nur die ersten beiden Beiträge gelesen, und da habe ich automatisch BC statt AB angenommen - Entschuldigung für die Störung. Hammer

Hammer

17.08.2011, 11:33

B00bietrap

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also die STrecke BC könte man ja berechnen man hat ja 2 Strecken und denWinkel dazwischen.
Dann könnte man Renés Formel brauchen.

@Healther: Die Formel kommt mir bekannt vor... die haben wir schonma verwendet... sind aber beim isolieren von c1 und c2 gescheitert...
und uns dann auf die suche nach einer einfacheren lösung gemacht....

Wäre es möglich, dass uns jemand die Formel umstellt? Bitte.

17.08.2011, 11:43

René Gruber

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Nachdem ich jetzt alles durchgelesen habe ( Augenzwinkern

Augenzwinkern

):

Legt man das Dreieck in die Gaußsche Zahlenebene, also wo die Eckpunkte durch komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} A=x_1+iy_1,B=x_2+iy_2,C=x_3+iy_3 \end{eqnarray*}$ dargestellt werden, dann kann man $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ einfach gemäß

$\begin{eqnarray*} C = A + (B-A)\cdot \frac{|C-A|}{|B-A|}\cdot e^{i\alpha} \qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

darstellen. Dabei sind $\begin{eqnarray*} |C-A| \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} |B-A| \end{eqnarray*}$ nun gerade die gegebenen Seitenlängen von $\begin{eqnarray*} CA \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ . Bildlich gesprochen wird dabei der Vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ um den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (im positiven Drehsinn) gedreht und dann dessen Länge gemäß des Streckungsfaktors $\begin{eqnarray*} \frac{|CA|}{|AB|} \end{eqnarray*}$ korrigiert.

Selbstverständlich kann man Formel (*) auch in Koordinatenschreibweise überführen, sofern jemanden die Anwendung der komplexen Zahlen für solche geometrischen Sachverhalte nicht geheuer ist.

17.08.2011, 11:52

Healther

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Mhh komplexe Zahlen sind doch was tolles, das hätte ich nicht gewusst. Wieso werden die in der Schule auch nicht behandelt... Die Frage ist nur lässt sich das in Java umsetzen?

@Boobietrap: Ich versuchs nachher mal muss erstmal weg. Wenn jemand Zeit/Lust hat kann er das ja mal machen, ansonsten wie gesagt nachher

17.08.2011, 12:29

B00bietrap

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Habens ma eben probiert.
Komplexe zahlen, also i oder Wurzel(-1) lässt sich mit der Java Math() Bibliothek nicht integrieren >.<

Ich glaub es hilft nur das umformen dieser enorm langen und komplexen Formel...

Denn auch die Vektor berechnungen, müssen in erst mal in eine brauchbare form für java umgewandelt werden und das ist genau so schwer für uns >.<

17.08.2011, 12:49

René Gruber

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Zitat:

Original von B00bietrap
Ich glaub es hilft nur das umformen dieser enorm langen und komplexen Formel...

Von welcher Formel sprichst du? Doch nicht von (*), was soll denn an der "enorm lang" sein? unglücklich

unglücklich

Wenn du keine Ahnung von komplexen Zahlen hast, dann eben hier die angesprochene Aufdröselung von (*) in Koordinaten:

$\begin{eqnarray*} x_3 &=& x_1 + \lambda \left( (x_2-x_1)\cos(\alpha)-(y_2-y_1)\sin(\alpha) \right) \\ y_3 &=& y_1 + \lambda \left( (x_2-x_1)\sin(\alpha)+(y_2-y_1)\cos(\alpha) \right) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \lambda := \frac{|CA|}{|AB|} \end{eqnarray*}$ zu setzen ist.

17.08.2011, 12:54

B00bietrap

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ich meinte die Formel von Healther^^

Es liebt nich daran dass ich keine Ahnung von komplexenzahlen .. ok.. hab nur n bissle Ahnung davon. Aber im Java wo wir diese berechnung brachen, können wir komplexezahlen nich verwenden^^

Aber deine Lösung gefällt mir so.. is jetzt auch für mich nachvollziehbar Big Laugh

Big Laugh

Werdens ma tesen.
Danke euch allen schonma <3

17.08.2011, 14:08

B00bietrap

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Haben nen testdurchlauf gemacht... irgendwas stimmt nich. der Punkt C ist nicht dort, wo er in etwa sein sollte.

A(287/136)
B(323/84)
$\begin{eqnarray*} \lambda \equiv \frac{101}{63.245} \end{eqnarray*}$

x3 = $\begin{eqnarray*} 323+ \lambda ((287-323)*\cos(87)-(136-84)*\sin(87)) \end{eqnarray*}$ = 237
y3 = $\begin{eqnarray*} 84+ \lambda ((287-323)*\sin(87)+(136-84)*\cos(87)) \end{eqnarray*}$ =30

C(237/30) ist nicht möglich :S

C sollte in etwa 220/64sein ... (grobe Paint schätzung^^)

Nullpunkt immernoch oben links.
So Sollte es in etwa aussehen:

[attach]20871[/attach]

Doch das momentane Resultat ist:

[attach]20872[/attach]

Stimmt die Formel nicht?

17.08.2011, 14:30

Healther

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Ich merke gerade die Vektoridee kann nicht funktionieren, da wir nur eine Gleichung, aber 2 Unbekannte haben.

Hier mal die Schrittfolge für die Berechnung über zwei Geraden:

Die drei Punkte sind $\begin{eqnarray*} A(a_0|a_1) ; B(b_0|b_1) ; C(c_0|c_1) \end{eqnarray*}$

Die Gerade AB ist bestimmt durch das Gleichungssystem:
$\begin{eqnarray*} a_1 = m * a_0 + d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1 = m * b_0 + d \end{eqnarray*}$

Aus diesem folgt:

$\begin{eqnarray*} m = \frac{a_1-b_1}{a_0-b_0} \end{eqnarray*}$

damit können wir jetzt die Steigung der 2. Gerade berechnen:

$\begin{eqnarray*} m_2 = tan(arctan(m) + 87°) \end{eqnarray*}$

aus $\begin{eqnarray*} a_1 = m_2 * a_0 +d \end{eqnarray*}$ lässt sich die Gerade eindeutig bestimmen, dann musst du nur noch den Punkt suchen der soweit von A entfernt ist wie C eben sein soll

edit: Bei komplexen Zahlen muss ich leider passen, hab ich wie erwähnt noch nicht gehabt. Über die Geradenidee kannst du es garantiert lösen, aber es dürfte verglichen mit der Lösung der Komplexenzahlen sehr rechenintensiv werden

17.08.2011, 14:38

René Gruber

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Zitat:

Original von B00bietrap
A(287/136)
B(323/84)
$\begin{eqnarray*} \lambda \equiv \frac{101}{63.245} \end{eqnarray*}$

x3 = $\begin{eqnarray*} 323+ \lambda ((287-323)*\cos(87)-(136-84)*\sin(87)) \end{eqnarray*}$ = 237
y3 = $\begin{eqnarray*} 84+ \lambda ((287-323)*\sin(87)+(136-84)*\cos(87)) \end{eqnarray*}$ =30

Wenn ich mir die Rechnung so anschaue, dann hast du die Werte von A und B vertauscht. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Zitat:

Original von B00bietrap
Nullpunkt immernoch oben links.

"Immer noch"? Seit wann? Meine Formeln gelten natürlich für ein übliches mathematisches Koordinatensystem mit Nullpunkt "unten links" - wenn man es vom ersten Quadranten aus betrachtet!!!

17.08.2011, 14:50

B00bietrap

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Hopla. Geändert
Ergibt aber immernoch einen Komplett falschen C Punkt... C(372/189) ... is noch weiter daneben :S

@René : steht im ersten und dritten post von mir. wir befinden uns im 4ten Quadranten und das Dreieck kann beliebig rotieren innerhalb des Quadranten

@Healther:
$\begin{eqnarray*} a_1 = m * a_0 + d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1 = m_2 * a_0 +d \end{eqnarray*}$
... wiso kommt a1 nochmal als resultat vor .. kann doch nich 2 mal das selbe ergeben?
wie komm ich von da auf c1 und c2? seh den zusammenhang nicht...
Oder sollte ich $\begin{eqnarray*} c_1 = m_2 * a_0 +(Distanz AC) \end{eqnarray*}$ daraus machen?

17.08.2011, 14:50

René Gruber

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Siehe Edit...

Wenn du die y-Achse plötzlich in einer anderen als üblichen Orientierung siehst, und trotzdem aber das Dreieck im positiven Drehsinn A,B,C orientiert sehen willst, dann musst du das Winkelvorzeichen von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ drehen, oder aber die in der Konsequenz veränderten Formeln

$\begin{eqnarray*} x_3 &=& x_1 + \lambda \left( (x_2-x_1)\cos(\alpha)+(y_2-y_1)\sin(\alpha) \right) \\ y_3 &=& y_1 + \lambda \left( -(x_2-x_1)\sin(\alpha)+(y_2-y_1)\cos(\alpha) \right) \end{eqnarray*}$

benutzen.

17.08.2011, 15:05

B00bietrap

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YAY.
Hat gelappt soweit Big Laugh

Big Laugh

<3
Danke euch beiden Gott

Gott

Funktioniert das auch, wenn das Dreieck innerhalb des Quadranten rotiert?^^ Ansonsten müsste das auchnoch gelöst werden Big Laugh

Big Laugh

greez B00bie

17.08.2011, 15:05

riwe

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mit meiner variante detto
C(373/ 189)

bzw.anders herum

C(207/ 74)

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