Lane-Emden-Gleichung

17.08.2011, 13:10	wstnachhilfe	Auf diesen Beitrag antworten »
Lane-Emden-Gleichung Meine Frage: hallo, ich versuche seit einiger Zeit mit MuPad diese Gleichung numerisch zu lösen. Ich mache wahrscheinlich etwas falsch?! die Lane-Emdengleichung stammt aus der Astrophysik und beschreibt Sterne als plytrope Gaskugelen, was eine gute Näherung dafür ist. die Gleichung : y''(x) + 2/xy'(x)+y^n =0 oder 1/x^2d/dx(x^2dy/dy) + y^n=0 analytische Lösungen findet man für Werte n?{0,1,5}, alle anderen exponenten müssen numerisch berechnet werden - das ist mein Problem! Meine Ideen:* 1. Versuch: f:= [y,x] -> [y[2],-2/x*y[2]]: y[0]:=[1]: for i from 1 to 10 step 0.01 do Y[i]:=numeric::odesolve(f, t[i-1]..t[i], Y[i-1]) end_for: dabei kommen aber nur unbrauchbare Ergebniss heraus, vielleicht kann mit jemand einen richtigen Tipp geben?
18.08.2011, 10:07	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch's doch mal mit der klassischen "Einschritt-Methode", also ohne spezielle Programme wie MuPad. Der Programmieraufwand ist sehr gering. Zu Not kann man das auch schnell mit EXCEL machen, was nur 15 Minuten dauert: Wandle dazu deine Dgl. 2.Ordnung in ein Dgl.-System aus 2 Gleichungen 1.Ordnung um, indem du die neue Funktion $\begin{eqnarray} z(x)=y'(x) \end{eqnarray}$ einführst. Das ergibt das Dgl.-System 1.Ordnung $\begin{eqnarray} z'=-\frac{2z}{x}-y^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'=z \end{eqnarray}$ Aus den beiden Anfangsbedingungen $\begin{eqnarray} y(0)=y_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y'(0)=z_0 \end{eqnarray}$ werden damit die Anfangsbedingungen: $\begin{eqnarray} y_0(0)=y_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z(0)=z_0 \end{eqnarray}$ Nun stelle im obigen Dgl.-System wie üblich die 1.Ableitungen y', z' als Differenzenquotienten mit der Schrittweite $\begin{eqnarray} x_{k+1}-x_k=h \end{eqnarray}$ dar, also $\begin{eqnarray} y'(x_k)=\frac{y(x_{k+1})-y(x_k)}{h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z'(x_k)=\frac{z(x_{k+1})-z(x_k)}{h} \end{eqnarray}$ . Ersetze damit in die beiden obigen Dgl. die 1.Ableitungen und stelle nach $\begin{eqnarray} y(x_{k+1}) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} z(x_{k+1}) \end{eqnarray}$ um. Das ergibt die gesuchten Rekursivformeln für den k-ten Schritt $\begin{eqnarray} z(x_{k+1})=\left ( -\frac{2z(x_k)}{x_k}-y^n(x_k)\right )\cdot h+z(x_k) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(x_{k+1})=z(x_k)\cdot h+y(x_k) \end{eqnarray}$ Berechne damit die gesuchten Funktionen step by step, wobei du die Schrittweite $\begin{eqnarray} h=x_{k+1}-x_k \end{eqnarray}$ genügend klein wählen musst. Mit EXCEL geht die Rechnung und grafische Darstellung wunderbar einfach.

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