Andere Schreibweise für Implikation

18.08.2011, 12:55

allahahbarpingok

Andere Schreibweise für Implikation

Moin,

kann mir jemand noch mal schnell die andere schreibweise für die Implikation verraten?

$\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B\Leftrightarrow ? \end{eqnarray*}$

18.08.2011, 13:01

Shortstop

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Hey, das ist äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} \neg A \lor B \end{eqnarray*}$

Wink

19.08.2011, 08:19

papahuhn

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RE: Andere Schreibweise für Implikation
Manchmal wird auch das superset-Symbol genutzt: $\begin{eqnarray*} A \supset B \end{eqnarray*}$

19.08.2011, 20:54

Dopap

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Zitat:

Original von Shortstop
Hey, das ist äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} \neg A \lor B \end{eqnarray*}$

das ist nicht äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

gemeint ist die Verknüpfung Subjunktion

$\begin{eqnarray*} p \rightarrow q \Rightarrow \neg q \lor q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ist keine Verknüpfung.

gilt natürlich auch von rechts nach Links. Zur Demo weggelassen
Links ist hinreichend für Rechts und Rechts notwendig für Links.

26.08.2011, 13:01

allahahbarpingok

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Hmm,

was ist dann die $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ negiert? Und man kann keine Aussagen von rechts nach links machen oder? Nur in die Richtung des Pfeiles kann man etwas schließen?

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} A \Rightarrow B \end{eqnarray*}$

Einzige Aussage: Wenn A gilt, dann auch B. Wenn A nicht gilt, kann man nix sagen. Wenn B gilt oder nicht gilt, kann man über A nichts sagen.

26.08.2011, 13:07

Helferlein

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Ein ganz simples Beispiel widerlegt deine letzte Aussage:

Wenn es regnet, wird die Erde nass.

Wenn die zweite Aussage negiert wird, was weisst Du dann über das Wetter?

26.08.2011, 13:29

allahahbarpingok

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Die Aussage negiert?: Es regnet und die Erde ist nicht naß.

Mein Problem ist, ich sehe den Unterschied zwischen: $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht. Wenn ich für beide eine Wahrheitstabelle mache, sind diese identisch. Trotzdem ist es was anderes?!

26.08.2011, 14:29

Huggy

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Zitat:

Original von allahahbarpingok
Mein Problem ist, ich sehe den Unterschied zwischen: $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht. Wenn ich für beide eine Wahrheitstabelle mache, sind diese identisch. Trotzdem ist es was anderes?!

Deine Verwirrung ist verständlich. Denn leider ist da in der Logik weder die Sprechweise noch die Symbolik einheitlich. Es geht darum, sauber zwischen der Implikation im Sinne einer zweistelligen logischen Verknüpfung und der Implikation im Sinne des logischen Schlusses zu unterscheiden. Darauf wollte Dopap hinweisen.

Die Implikation im Sinne der zweistelligen logischen Verknüpfung wird genauer als Subjunktion oder materiale Implikation bezeichnet. Den logischen Schluss würde man am besten als logischen Schluss bezeichnen. Aber das geht nicht, weil das kein Fremdwort ist unglücklich

und deshalb sagt man meist Implikation dazu.

Für die Implikation als zweistellige logische Verknüpfung hat sich das Symbol $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ eingebürgert. Es wird dafür aber noch häufig auch der Doppelpfeil $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ verwendet. Der sollte aber besser dem logischen Schluss vorbehalten sein.

Wenn man weiß, dass die zweistellige logische Verknüpfung

$\begin{eqnarray*} a \rightarrow b \end{eqnarray*}$

wahr ist, so kann man daraus noch keinen logischen Schluss ziehen, weder bezüglich a noch bezüglich b. Wenn man zusätzlich weiß, dass a wahr ist, dann kann man schließen, dass auch b wahr ist. Das heißt,

$\begin{eqnarray*} (a \land (a \rightarrow b)) \Rightarrow b \end{eqnarray*}$

ist ein korrekter logischer Schluss. Zwischen der Implikation als zweistelliger logischer Verknüfung und der Implikation als logischem Schluss besteht folgende Verbindung: Wenn

$\begin{eqnarray*} a \rightarrow b \end{eqnarray*}$

allgemeingültig ist, dann ist

$\begin{eqnarray*} a \Rightarrow b \end{eqnarray*}$

ein korrekter logischer Schluss. So ist z. B.

$\begin{eqnarray*} (a \land (a \rightarrow b)) \rightarrow b \end{eqnarray*}$

allgemeingültig. Und deshalb ist

$\begin{eqnarray*} (a \land (a \rightarrow b)) \Rightarrow b \end{eqnarray*}$

ein korrekter logischer Schluss.

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