Quadriken

18.08.2011, 21:14	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadriken Meine Frage: Hallo ich habe eine Frage zu Quadrigen: In unserem Skript wurde die Matrix Schreibweisen der Quadrik so angegeben: $\begin{eqnarray} x^TAx + 2b^Tx +c = 0 \end{eqnarray}$ ich lese aber auch immer wieder, auch in einer sehr guten Beschreibung zur Bestimmung der Normalform einer Quadrik die folgende Form: $\begin{eqnarray} x^TAx + b^Tx +c = 0 \end{eqnarray}$ also ohne die 2 vor dem b! Mir ist jetzt nicht ganz klar, welche Gleichung ich bei der Bestimmung der Normalform verwenden soll... Kann mir jemand sagen, worin sich diese 2 bemerkbar macht??? Oder warum es überhaupt dies 2 Formen gibt?? Meine Ideen: Danke für die Hilfe!!!
19.08.2011, 09:04	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man die Quadrk in der Form $\begin{eqnarray} \vec x^TA\vec x+\vec b^T\vec x+c=0 \end{eqnarray}$ schreibt, tritt bei der weiteren Umformung der Bruch $\begin{eqnarray} \vec b/2 \end{eqnarray}$ auf. Um diesen Bruch (aus drucktechnischen Gründen) zu vermeiden, schreibt man die Quadrik von Beginn an in der Form $\begin{eqnarray} \vec x^tA\vec x+2\vec b'^T\vec x+c=0 \end{eqnarray}$ , wobei natürlich $\begin{eqnarray} \vec b' \end{eqnarray}$ verschieden von $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ ist, denn $\begin{eqnarray} \vec b=2\vec b' \end{eqnarray}$ . ---------- Bei quadratischen Gleichungen kann man es ähnlich machen: Die Lösung der quadratischen Gleichung $\begin{eqnarray} x^2+px+q=0 \end{eqnarray}$ lautet bekanntlich $\begin{eqnarray} x_{1;2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2}\right )^2-q} \end{eqnarray}$ . Um auch hier Brüche zu vermeiden, kann man die quadratische Gleichung $\begin{eqnarray} x^2+2p'x+q=0 \end{eqnarray}$ betrachten, welche die Lösung $\begin{eqnarray} x_{1;2}=-p'\pm\sqrt{ p'^2-q} \end{eqnarray}$ hat. Ähnlich wie oben ist p=2p'.
19.08.2011, 10:04	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Super Danke für die Antwort! Dann kann ich also mit beiden rechnen, es müsste das gleiche rauskommen oder?
19.08.2011, 13:57	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, du kannst natürlich mit beiden Gleichungen rechnen. Du musst aber beachten, dass sich beide Vektoren $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec b'=\vec b/2 \end{eqnarray}$ um den Faktor 1/2 unterscheiden.

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