Beispiel zum Satz von Mittag-Leffler: \frac{\pi^{2}}{\sin(z)^{2}}

19.08.2011, 15:16	Lieselchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel zum Satz von Mittag-Leffler: \frac{\pi^{2}}{\sin(z)^{2}} Meine Frage: Wie berechnet man den Hauptteil von \frac{\pi^{2}}{\sin(z)^{2}} zur Polstelle 0? Meine Ideen: Ich weiß, dass der Hauptteil von \frac{\pi^{2}}{\sin(z)^{2}} zur Polstelle 0 gleich \frac{1}{z^{2}} ist, komme leider aber selbst nicht drauf. Ich habe verschiedene Ansätze probiert, komme aber bei diesen erstens zu keiner Lösung und zweitens habe ich vergessen, warum mir der entsprechende Ansatz überhaupt was bringt. Irgendwie spielt immer wieder das Residuum dabei eine Rolle - das ist in diesem Fall 0 (was ich nur auf kompliziertesten Wege herausbekommen habe: 1= \sin(z) \frac{1}{\sin(z)}=...(ewig lange Umformungen) ... => Residuum von meinem Term ist 0 - geht es einfacher?) Aber was habe ich jetzt eigentlich davon? - der Nutzen außerhalb des Residuumsatzes ist mir noch nicht so ganz klar (eher stark unklar!!!) Könnt ihr mir helfen?! Vielen lieben Dank schon mal!
19.08.2011, 15:21	Lieselchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beispiel zum Satz von Mittag-Leffler: \frac{\pi^{2}}{\sin(z)^{2}} Hab die Funktion falsch aufgeschrieben - sie heißt $\begin{eqnarray} \frac{\pi^{2}}{\sin(\pi z)^{2}} \end{eqnarray}$
19.08.2011, 16:56	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, arbeite folgende Schritte ab: 1. Es gilt $\begin{eqnarray} \underset{z \rightarrow 0}{\lim}\frac{\pi^2}{\sin(\pi z)^2}z^2 = 1 \end{eqnarray}$ 2. Es gilt $\begin{eqnarray} \frac{\pi^2}{\sin(\pi z)^2} = - \frac{d}{dz} \pi \cot(\pi z) \end{eqnarray}$ auf einer Punktierten Umgebung um den Ursprung. Aus 1. ergibt sich, dass wir schreiben können $\begin{eqnarray} \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \frac{1}{z^2} + \frac{a}{z} + h(z) \end{eqnarray}$ mit einer in einer Umgebung um den Ursprung holomorphen Funktion $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ . Aus 2. folgt direkt: $\begin{eqnarray} a = res_{z = 0}\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = 0 \end{eqnarray}$ zusammen ergibt dieses die Behauptung. mfg

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