Folge mit Folgengliedern

19.08.2011, 17:09

IHC

Folge mit Folgengliedern

Hi leute,

Ich bräuchte nochmal zu ner gewissen Folge eure Hilfe.
Diese lautet $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{5n+200}{7n-1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich für n nun $\begin{eqnarray*} 1 ; 2 ; 3 ; 100 ; 1000 ; 10000 \end{eqnarray*}$
einsetze, erhalte ich für $\begin{eqnarray*} a=0,7142857 \end{eqnarray*}$

Nur wie rechne ich jetzt weiter, wenn ich $\begin{eqnarray*} n_{0}=[?]+1 \end{eqnarray*}$
haben will?

mfg IHC

19.08.2011, 18:47

Johnsen

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Zitat:

Wenn ich für n nun $\begin{eqnarray*} 1 ; 2 ; 3 ; 100 ; 1000 ; 10000 \end{eqnarray*}$ einsetze, erhalte ich für $\begin{eqnarray*} a=0,7142857 \end{eqnarray*}$

Das versteh ich schonmal nicht, denn du hast ja kein allgemeines a, dein a hängt immer von dem n ab, das du einsetzt. Du hast somit immer nur
$\begin{eqnarray*} a_0, a_1, a_2,a_3, a_{100} \end{eqnarray*}$ . Daheri ist mir rätselhaft, wie du auf den Wert von 0,71... kommst.

Und deine Frage dazu versteh ich auch nicht so ganz:

Zitat:

Nur wie rechne ich jetzt weiter, wenn ich $\begin{eqnarray*} n_{0}=[?]+1 \end{eqnarray*}$ haben will?

19.08.2011, 18:50

IHC

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Also wir haben die Vermutung gestellt, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$
gegen $\begin{eqnarray*} 0,71 \end{eqnarray*}$ geht. (Grenzwert)

Nun wollten wir irgendwas rechnen und umstellen, dass wir am
Ende auf $\begin{eqnarray*} n_{0}=[irgendetwas]+1 \end{eqnarray*}$ kommen.

Ich weis allerdings nicht, wie ich das anstellen kann.

mfg IHC

19.08.2011, 19:29

Johnsen

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Wie wärs, wenn du im Zähler und im Nenner n ausklammerst und dann n gegen unendlich laufen lässt? Das andere herumrechnen versteh ich nicht, was ist denn n0?

Gruß

Johnsen

20.08.2011, 10:41

IHC

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Wir müssen es (glaube ich) in die Form $\begin{eqnarray*} |a_{n}-a|<\epsilon \end{eqnarray*}$
bringen.

Hilft dir das?

20.08.2011, 11:10

Cel

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@IHC: Bitte bemühe dich, dich verständlich auszudrücken. Es ist schwierig, zu helfen, wenn du selbst nicht ganz weißt, was zu tun ist. Was das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ist, müsste doch in deinen Aufzeichnungen stehen.

@Johnsen: IHC möchte ganz klassisch den Grenzwert a errechnen:

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \ \exists \ n_0 \in \mathbb{N} \ : \ |a_n - a| < \varepsilon \ \forall n \geq n_0 \end{eqnarray*}$

Er sucht also nach dem kritischen Index (abhängig vom Epsilon) und möchte diesen mit einer Gauß-Klammer angeben.

(Und schon bin ich wieder raus ...)

20.08.2011, 11:12

IHC

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Danke dir Cel. smile

Warte dann mal, bis Johnson wieder on ist. Tanzen

20.08.2011, 12:43

Cel

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Johnsen hat mir den Thread übergeben, weswegen wir beide weitermachen.

Du hast eine Vermutung, wie der Grenzwert aussieht. Du hast ihn gerundet, was wir lieber nicht machen. Bei solchen Quotienten von Folgen bestimmt der Faktor vor der höchsten Potent das Verhalten der Folge. Die höchste Potenz ist hier 1. Was ist also der Grenzwert (als Bruch)? Das brauchen wir, damit wir weitermachen können.

Noch mal: Guck dir die Zahlen vor dem n mit der höchsten Potenz an, in Zähler und Nenner. Der Quotient aus diesen beiden Zahlen ist der Grenzwert.

20.08.2011, 12:48

IHC

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Das wäre dann $\begin{eqnarray*} \frac{5}{7}=0,714285714 \end{eqnarray*}$

20.08.2011, 12:51

Cel

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Wunderbar! So, und jetzt legen wir einfach mal los und betrachten

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{5n + 200}{7n-1} - \frac{5}{7}\right| \end{eqnarray*}$ .

Wir möchten das kleiner als ein gegebenes Epsilon bekommen. Vereinfache den Ausdruck und du wirst sehen, dass es gar nicht so schwer ist. Bring das mal auf einen Bruchstrich.

20.08.2011, 12:57

IHC

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$\begin{eqnarray*} |\frac{5n+200}{7n-1}-0,714285714|<\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{5n+200-5n-0,714285714}{7n-1}|<\epsilon \end{eqnarray*}$

20.08.2011, 13:09

Cel

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Lass die 5/7 stehen. Wir möchten nicht runden. Augenzwinkern

Guck dir dann doch mal den Zähler an, ob man da was vereinfachen kann.

20.08.2011, 13:21

IHC

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$\begin{eqnarray*} \frac{200-\frac{5}{7}}{7n-1} \end{eqnarray*}$

20.08.2011, 13:26

Iorek

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Da Cel gerade offline ist...

Wie subtrahiert man denn zwei Brüche? unglücklich

20.08.2011, 13:34

IHC

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in der Schule haben wir sie auch auf den selben Nenner
gebracht.

Ist da was falsch verwirrt

20.08.2011, 13:37

Iorek

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Ja, das ist leider komplett falsch. unglücklich

Wie lautet der Hauptnenner?

20.08.2011, 13:38

IHC

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7n-1

20.08.2011, 13:40

Iorek

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Wie willst du den zweiten Bruch denn multiplizieren, um auf diesen Nenner zu kommen?

20.08.2011, 13:44

IHC

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Beim zweiten Bruch einfach $\begin{eqnarray*} Nenner \cdot (7n-1) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} Zaehler \cdot (7n-1) \end{eqnarray*}$ .

20.08.2011, 13:47

Iorek

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Dann ist de Hauptnenner aber nicht wie eben von dir gesagt (7n-1).

$\begin{eqnarray*} \frac{5n+200}{7n-1}-\frac 57=\frac{7\cdot(5n+200)}{7\cdot(7n-1)}-\frac {5\cdot (7n-1)}{7\cdot(7n-1)} \end{eqnarray*}$ , jetzt musst du nur noch ausmultiplizieren und zusammenfassen.

20.08.2011, 13:50

IHC

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$\begin{eqnarray*} |\frac{5n+200}{7n-1}-\frac{\frac{5}{7}\cdot (7n-1)}{7n-1}|<\epsilon \end{eqnarray*}$

So hätte ich es jetzt gemacht. verwirrt

20.08.2011, 13:58

Iorek

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Das wäre noch denkbar (auch wenn es auf hässliche Doppelbrüche hinausläuft), führt aber nicht auf dein (falsches) Ergebnis von eben.

Du kannst dir aussuchen, mit welcher Umformung du weiterarbeitest, bei deiner kommen eben Doppelbrüche ins Spiel.

20.08.2011, 13:59

IHC

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Kann ich bei meiner nicht einfach die $\begin{eqnarray*} \frac{5}{7} \end{eqnarray*}$ ausrechnen
und dann die Klammer ausmultiplizieren?

20.08.2011, 14:03

Iorek

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Was meinst du mit "5/7 ausrechnen"? verwirrt

Du kannst es jetzt auf einen Bruchstrich schreiben und ausmultiplizieren/zusammenfassen, ja.

20.08.2011, 14:06

IHC

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$\begin{eqnarray*} |\frac{5n+200}{7n-1}-\frac{\frac{5}{7}\cdot (7n-1)}{7n-1}|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Ich meine die $\begin{eqnarray*} \frac{5}{7} \end{eqnarray*}$ im zweiten Bruch im Zähler.

20.08.2011, 14:08

Iorek

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Schon klar welche du meinst, aber was willst du mit " $\begin{eqnarray*} \frac 57 \end{eqnarray*}$ ausrechnen" sagen?

Fass doch jetzt einfach die Brüche zusammen.

20.08.2011, 14:16

IHC

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Damit wollte ich sagen, dass ich die Kommazahl ausrechne und dann die Klammer
auflöse.
Denn so komme ich auf 5n und da auf dem ersten Bruch ja auch 5n steht,
fällt das weg und ich habe nur noch im Nenner ein n drinne. verwirrt

20.08.2011, 14:20

Iorek

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Mit periodischen Kommazahlen rechnen wir hier nicht.

Warum versuchst du denn nicht einfach mal, die Brüche stur nach den Bruchrechenregeln zusammenzufassen? Du drückst dich da seit einer halben Stunde vor.

20.08.2011, 14:23

IHC

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Ich mache da bestimmt viele Fehler. unglücklich

Könnte der zweite Bruch so stimmen, wenn ich die Klammer auflösen will?

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{35}{7}\cdot n-\frac{5}{7}}{7n-1} \end{eqnarray*}$

20.08.2011, 14:24

Iorek

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Kürzen...dann stimmt der.

20.08.2011, 14:25

IHC

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$\begin{eqnarray*} \frac{5n-\frac{5}{7}}{7n-1} \end{eqnarray*}$

20.08.2011, 14:26

Iorek

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Stimmt. Und jetzt bitte keine einsilbigen Brüche mehr, du darfst gerne ein paar Schritte weiter machen.

20.08.2011, 14:28

IHC

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$\begin{eqnarray*} |\frac{200-\frac{5}{7}}{7n-1}|<\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{199\frac{2}{7}}{7n-1}|<\epsilon \end{eqnarray*}$

20.08.2011, 14:33

Iorek

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So, jetzt kannst du dein Wissen über das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ einbringen, die Aussage soll ja für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ gelten. Damit kannst du den Ausdruck nach oben abschätzen.

20.08.2011, 14:34

IHC

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Jetzt müssen wir doch nach n umstellen, oder verwirrt

20.08.2011, 14:35

Iorek

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Ich würde erst noch eine Abschätzung für das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ machen, schließlich kommt es ja auf diesen Index an.

20.08.2011, 14:37

IHC

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Tut mir leid, aber ich weis nicht, was du mit Abschätzung meinst. traurig

20.08.2011, 14:47

Iorek

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Wie habt ihr denn sonst die Folgenkonvergenz bewiesen? Im [WS] Folgen gibt es auch ein paar Beispiele (eines könnte man ein klein wenig abändern und auf deine Aufgabe übertragen).

20.08.2011, 14:57

IHC

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$\begin{eqnarray*} \frac{199\frac{2}{7}}{\epsilon}+\frac{1}{7}<n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |\frac{199\frac{2}{7}}{7n-1}|<\epsilon /\cdot(7n-1)/:\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{199\frac{2}{7}}{\epsilon}|<7n-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{199\frac{2}{7}}{\epsilon}<7n-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{199\frac{2}{7}}{\epsilon}<7n-1/+1 /:7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{199\frac{2}{7}}{\epsilon}+\frac{1}{7}<n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_{0}=[\frac{199\frac{2}{7}}{\epsilon}+\frac{1}{7}]+1 \end{eqnarray*}$

Das sind jetzt viele Zahlen, könnte das so stimmen?

20.08.2011, 15:04

Iorek

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Ich kann da nicht wirklich was sinnvolles erkennen. unglücklich

Wo kommt auf einmal das $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ im Nenner her, wo verschwindet das $\begin{eqnarray*} +\frac 17 \end{eqnarray*}$ hin bzw. wie kommst du da überhaupt drauf? Wieso sollte der Ausdruck kleiner als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ sein?

Hast du dir einmal den Beweis für die Konvergenz der Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\frac 1n \end{eqnarray*}$ durchgelesen? Der hier funktioniert fast genauso.

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