Vektoren: Aus einem dreieck, Parallelogramm bilden

21.08.2011, 15:54

Nubia

Vektoren: Aus einem dreieck, Parallelogramm bilden

Meine Frage:
Aufgabenstellung: Ergänzen Sie einen Punkt D, so dass aus dem Dreieck ABC mit A(1;4) B(6;8) und C(9;12) ein Parallelogramm ABCD entsteht. Fertigen Sie zunächst eine Skizze an und beschreiben Sie die Möglichkeiten für den Punkt D.

Meine Ideen:
Leider fehlt mir hierbei komplett der Ansatz.
Bitte um Hilfe.

21.08.2011, 15:57

Grouser

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Dann folge doch der Aufgabenstellung und mach dir zunächst einmal eine Skizze. In diesem Fall wäre es sogar sinnvoll, den Maßstab zu beachten (das erleichterte es etwas und führt zu einer gewissen Kontrolle).

21.08.2011, 16:06

Nubia

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habe ich schon gemacht. jedoch entsteht fast eine gerade linie, was sehr verwunderlich ist!

21.08.2011, 16:08

Grouser

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Es ist ein stumpfwinkliges Dreieck, ja...
Wie könntest du denn durch das Hinzufügen eines Punktes ein Parallelogramm daraus machen? Zumindest eine Lösung ist sehr offensichtlich. Die zwei anderen scheinen vielleicht etwas ungewohnt.

21.08.2011, 16:13

Nubia

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es müsste ein Punkt D senkrecht zu AB sein, der die selbe Entfernung von der Strecke AB hat wie C.

21.08.2011, 16:30

Grouser

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Ja, genau. Das ist die offensichtliche (weil gewohnte) Lösung.

Kannst du diesen Punkt mathematisch beschreiben? Deine Zeichnung hilft dabei!

edit: Ich sehe gerade: Für ein Parallelogramm wird gefordert, dass es konvex ist.
Die Frage ist also: Gibt es überhaupt eine andere Lösung?

21.08.2011, 16:35

Nubia

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ahh ok ist es vllt A+ Vektor von BC?

Nur woher weiß ich dass es überhaupt ein Parallelogramm ist? Wogher weiß ich dass Punkt B genau in der Mitte der Strecke AC liegt? Weil wenn der ja nicht genau in der Mitte ist, ist es ja so ein Drachen.

21.08.2011, 16:48

Grouser

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Ah, die Frage bei solchen Aufgaben ist immer was du alles beherrscht.
Es gibt so viele verschiedene Lösungsmöglichkeiten.

Weißt du z.b. wie man einen Vektor an einer Geraden spiegelt?
Falls ja, könntest du ja einfach $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ spiegeln und dann findest du den Punkt D ja naheliegend...

21.08.2011, 17:19

riwe

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Zitat:

Original von Grouser
Ah, die Frage bei solchen Aufgaben ist immer was du alles beherrscht.
Es gibt so viele verschiedene Lösungsmöglichkeiten.

Weißt du z.b. wie man einen Vektor an einer Geraden spiegelt?
Falls ja, könntest du ja einfach $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ spiegeln und dann findest du den Punkt D ja naheliegend...

spiegeln an einem vektor halte ich nicht für eine sehr gute idee, eher an einer geraden durch A und C.

nebenbei würde das aber NUR funktionieren, wenn die diagonalen senkrecht aufeinander stünden, was sie in der regel im parallelogramm nicht tun.

üblich ist dieser weg:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}\pm\overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$

wobei das "+" nur gilt, wenn man die übliche "orientierung" "ABCD" mißachtet

wenn ich mich irre, entschuldigt bitte die störung Augenzwinkern

21.08.2011, 19:25

Nubia

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nein ich weiß nicht wie an die spiegelt.
aber für was steht o?

21.08.2011, 19:41

Nubia

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Also ich bin jetzt folgendermaßen vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} A+ \vec{b} = D (1;4)+C- B= D (1;4)+\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = D (4;8)= D \end{eqnarray*}$

Kann ich das rein formell so überhaupt schreiben?
War mir dabei sehr unsicher, wie ich mit Punkten und Vektoren rechne und es formaell korrekt hinschreibe.

21.08.2011, 20:16

Leopold

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Es gibt drei Möglichkeiten, ein Dreieck $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ zu einem Parallelogramm zu ergänzen. Man spiegelt die Punkte $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ an den Mitten der gegenüberliegenden Seiten und erhält so die Punkte $\begin{eqnarray*} A',B',C' \end{eqnarray*}$ .

Jetzt sind $\begin{eqnarray*} ABCB' \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} ABA'C \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} AC'BC \end{eqnarray*}$ die gesuchten Parallelogramme.

[attach]20901[/attach]

In klassischer Notation ist $\begin{eqnarray*} D=B' \end{eqnarray*}$ der gesuchte Punkt für das Parallelogramm $\begin{eqnarray*} ABCD \end{eqnarray*}$ . Nimmt man dagegen $\begin{eqnarray*} D=A' \end{eqnarray*}$ , so erhält man das Parallelogramm $\begin{eqnarray*} ABDC \end{eqnarray*}$ . Und wählt man $\begin{eqnarray*} D=C' \end{eqnarray*}$ , bekommt man das Parallelogramm $\begin{eqnarray*} ADBC \end{eqnarray*}$ .

Es kann aber sein, daß die Aufgabe allgemeiner formuliert ist, etwa so: "Man finde einen Punkt $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , so daß die Punkte $\begin{eqnarray*} A,B,C,D \end{eqnarray*}$ (beachte die Kommata!) die Ecken eines Parallelogramms bilden." In diesem Fall sind alle drei Punkte mögliche Lösungen für $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ .
Werner hat dir die Konstruktion von $\begin{eqnarray*} D=B' \end{eqnarray*}$ angegeben, wobei in strenger Auffassung nur das Minuszeichen richtig ist (siehe Zeichnung). Und $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ ist natürlich der Ursprung des Koordinatensystems. Wenn $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \end{eqnarray*}$ die Ortsvektoren von $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ sind und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \, ' \end{eqnarray*}$ der Ortsvektor von $\begin{eqnarray*} B' \end{eqnarray*}$ , dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OB'} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{BA} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b} \, ' = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c} \end{eqnarray*}$

Wenn man sich die Struktur des Vektorterms rechts anschaut, ist auch sofort klar, wie man durch Analogiebildung die Ortsvektoren von $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C' \end{eqnarray*}$ erhält.

Zu deiner Schreibweise: Es kommt darauf an, wie ihr vereinbart habt, Ortsvektoren zu schreiben.

1. Ich kenne es so, daß man den entsprechenden lateinischen Kleinbuchstaben nimmt, also $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OX} \end{eqnarray*}$ schreibt. In diesem Fall ist deine Schreibweise inkorrekt, insbesondere darfst du für $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$ nicht den Bezeichner $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ verwenden, weil ja $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ schon für $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OB} \end{eqnarray*}$ steht.

2. Es gibt aber auch die andere Variante, daß man einfach den lateinischen Großbuchstaben nimmt, also $\begin{eqnarray*} \vec{X} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OX} \end{eqnarray*}$ schreibt. In diesem Fall müßte deine erste Gleichung so lauten: $\begin{eqnarray*} \vec{A} + \overrightarrow{BC} = \vec{D} \end{eqnarray*}$ . Und in diesem Fall darfst du auch den Bezeichner $\begin{eqnarray*} \vec{b} = \overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$ einführen, wenn du das zum Beispiel in der Zeichnung einträgst.

Dein Ergebnis stimmt. Du solltest aber Vektoren einheitlich als Zeilen oder Spalten schreiben. In der Schule ist die Spaltenschreibweise üblich, während man die Koordinaten von Punkten hintereinander schreibt. So kann man auch einen Punkt von seinem Ortsvektor unterscheiden.

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