Basiswechsel 2x2 Matrix

22.08.2011, 20:29

prinzschleifer

Basiswechsel 2x2 Matrix

Hallo allerseits,

hier vorneweg die Aufgabe:
[attach]20915[/attach]

Ein Teil der Lösung des b Teils:
[attach]20916[/attach]

Nun zu meiner Frage: Ist A eine Abbildungsmatrix? Offensichtlich ja nicht, da ja A eine 4x4 Matrix ist und das Ganze mit einer 2x2 multipliziert ist ja nicht einmal definiert.

Wie rechnet man den dann mit einer 2x2 Matrix. Rollt man diese auf eine 4x1 Matrix aus? Bin ein wenig verwirrt.

Grüße,
JuliusSpringer

Edit (jester): Links zu externem Bildhoster entfernt und Bilder als Anhang eingefügt.

22.08.2011, 23:39

Cel

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Hallo, zunächst einmal die Bitte: Lade die Bilder direkt ins Board hoch, externe Links können mit der Zeit verloren gehen. Augenzwinkern

Zu deiner Frage: So Unrecht hast du nicht mit dem "Ausrollen". Mathematisch präzise multiplizierst du einen 4D-Koordinatenvektor an die Matrix dran. Du nimmst dir die Matrix, die du abbilden möchtest und bestimmst den Koordinatenvektor in der Basis B. Genauso bestimmt man ja auch die Abbildungsmatrix: Du bildest das Bild der Basisvektoren und schreibst sie als Koordinatenvektor spaltenweise auf.

Hilft dir das schon?

23.08.2011, 14:57

prinzschleifer

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Mein Problem ist folgedens:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Diese Multiplikation ist ja nicht einmal definiert.

Vielmehr gilt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \not = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der resultierende Vektor ist ja offensichtlich keine 2x2 Matrix. Auch ist mir die Reihenfolge in der das Aufrollen geschieht schleierhaft. Ist diese Willkürlich oder folgt die einem Schema? Das hier gewählte Schmea ist ja gerade: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Grüße,
prinzschleifer

23.08.2011, 15:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von prinzschleifer
Mein Problem ist folgedens:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Diese Multiplikation ist ja nicht einmal definiert.

Du hast noch einn grundlegendes Verständnisproblem, was die Abbildungsmaxtrix überhaupt macht.

Die 4x4-Matrix wird mit dem Koordinatenvektor multipliziert, den du aus der Darstellung des Urbildes in der Basis des Urbildraumes erhältst. Das Ergebnis ist dann der Koordinatenvektor des Bildes in der Basis des Bildraums.

23.08.2011, 15:47

Ehos

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Fasse deine 2x2-Matrizen als Vierervektoren auf. Dann lautet deine Abbildung

$\begin{eqnarray*} \underbrace {\begin{pmatrix} a-b \\ c-d \\ b-c\\ a-d \end{pmatrix}}_{\text{Vektor }\vec b}=\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 &-1\\ 0 & 1 & -1&0 \\1&0&0&-1 \end{pmatrix}}_{\text{Abbildungsmatrix A}} \underbrace{\begin{pmatrix} a \\ b \\ c\\ d \end{pmatrix}}_{\text{Vektor }\vec a} \end{eqnarray*}$

a) Der Kern dieser Abbildung ist wie immer der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems. Setze also die linke Seite Null und löse!

b) Die 4 Basismatrizen kann man ebenfalls als Vierervektoren auffassen, nämlich: (1|1|0|0); (1|0|1|0); (1|0|0|1); (0|1|1|0). Diese bilden folgende Matrix:

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 &0 \\ 1 & 0 & 1 &0\\ 1 & 0 & 0&1 \\0&1&1&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stelle in der obigen Abbildungsgleichung die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ als Linearkombination dieser Basis dar, also $\begin{eqnarray*} \vec b=B^T\vec b_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec a=B^T\vec a_x \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \vec b_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec a_x \end{eqnarray*}$ die zugehörigen Koordinatenvektoren darstellen. Oben einsetzen ergibt

$\begin{eqnarray*} B^T\vec b_x=AB^T\vec a_x \end{eqnarray*}$

Lässt man darauf die Matrix $\begin{eqnarray*} B^{T-1} \end{eqnarray*}$ wirken, hat man die gesuchte Abbildung bezüglich der Basis B.

$\begin{eqnarray*} \vec b_x=\underbrace{B^{T-1}AB^T}_{A'}\vec a_x \end{eqnarray*}$

Hierbei ist A' die gesuchte Abbildungsmatrix bezüglich der neuen Basis. Berechne explizit die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} A'=B^{T-1}AB^T \end{eqnarray*}$ und kehre vom Raum $\begin{eqnarray*} R^4 \end{eqnarray*}$ wieder zurück in den Raum der 2x2-Matrizen.

24.08.2011, 19:12

prinzschleifer

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Vielen vielen Dank! Sehr hilfreich!

Grüße,
prinzschleifer

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