Aussagenlogik Implikation

23.08.2011, 19:13

Masseltof

Aussagenlogik Implikation

Hallo.

Ich habe eine kurze Frage zur wörtlichen Implikation bei der Aussagenlogik:

Nach meinem Buch gilt folgendes Beispiel:

Es ist dunkel -> Das Licht ist aus

"Damit es dunkel es, muss das Licht aus sein, d.h Das Licht ist aus ist eine notwendige Bedingung.
Damit das Licht aus ist, genügt es schon wenn es dunkel ist.
Aber auch bei Sonne kann das Licht aus sein , es handelt sich um eine hinreichende Bedingung.

Das Licht ist aus -> Es ist dunkel

Dies gilt hingegen nicht, denn wie bereits gesagt, kann die Sonne scheinen und das Licht aus sein, sodass es nicht dunkel ist. "

Dies fasst grob zusammen, was das Buch sagt.
Mein Problem bei der Aussagenlogik ist es, dass die Aussagen nicht genug differenziert sind, also sehr oberflächlich sind.
Das möchte ich an folgendem Beispiel erklären:

z.B lautet die erste Aussage wörtlich ja ungefähr:
Schon wenn es dunkel ist, ist das Licht aus.

Aber muss das Licht wirklich aus sein, damit es dunkel ist? Wovon reden wir hier überhaupt? Von einem Raum? Einem Gebiet? Einem Land?
Ich behaupte:
Es ist dunkel -> Die Glühbirne ist kaputt

Damit müsste aber das Licht nicht unbedingt aus sein. Denn der Strom könnte immer noch fließen (der Lichtschalter also betätigt sein), nur die Glühbirne kaputt sein.

Ebenso könnte nun eine Person kommen und das Spiel umdrehen und behaupten das nicht die Glühbirne kaputt ist, sondern das Licht aus ist.

Ich habe gerade angefangen mit dem Durcharbeiten von Analysis und habe bisher noch keine Aufgaben zur Aussagenlogik im mathematischen Sinne bearbeitet.
Aber habe ich einen Knick in der Logik oder könnte man im obigen Beispiel nicht auch argumentieren, dass es falsch sei, bzw. nicht zu genüge definiert?

Ich danke und grüße

23.08.2011, 20:21

Huggy

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RE: Aussagenlogik Implikation
Du vermengst hier Bedeutungsfragen mit Fragen der Logik. Die Logik als formale Disziplin kann nicht entscheiden, welche Bedeutung bei dir die Aussage "Das Licht ist aus" haben soll. Und das hängt ja auch vom Kontext ab.

Wenn man sich in einem Raum mit einer einzelnen Glühbirne befindet, würden die meisten die Aussage "Das Licht ist aus" wohl so verstehen, dass die Glühbirne kein Licht abgibt, aus welchem Grund auch immer. Aber das kann man selbstverständlich auch anders definieren. Wie man das verstehen will, ist jedenfalls keine Frage der Logik sondern der Vereinbarung.

23.08.2011, 20:42

Dopap

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diese Implikation ( besser : Folgerung ) ist keine Verknüpfung zweier logischer Variablen.
also nicht : $\begin{eqnarray*} p \rightarrow q \end{eqnarray*}$ , das wäre die Subjunktion.

Das Beispiel ist zu interpretationsfähig. Besser wäre z.B : ich stehe im Freien auf der Strasse.

Es regnet $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ die Strasse ist nass.

Links ist hinreichend für Rechts.
Rechts ist notwendig für Links.

Falls das nicht klar sein sollte, genügt auch der Nachweis per Kontraposition:

ist die Strasse trocken $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ es regnet nicht
( das ist für manche evidenter als das Original Augenzwinkern

)

aus: Es regnet nicht, kann aber nichts gefolgert werden!!

Unschlagbar sind aber Aussagen, deren Voraussetzungen unbestritten sind:

gilt der Satz des Pythagoras $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ das Dreieck ist rechtwinklig.

hier gilt wie so oft auch der Umkehrsatz

23.08.2011, 20:53

Huggy

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Zitat:

Original von Dopap
diese Implikation ( besser : Folgerung ) ist keine Verknüpfung zweier logischer Variablen.
also nicht : $\begin{eqnarray*} p \rightarrow q \end{eqnarray*}$ , das wäre die Subjunktion.

Das kann man so nicht sagen. Implikation wird (leider) in unterschiedlicher Bedeutung verwendet. Und eine dieser Bedeutungen ist gleichbedeutend mit Subjunktion. Tatsächlich wird nach meiner Erfahrung mit Logikbüchern die Subjunktion häufiger Implikation genannt als sie Subjunktion genannt wird.

23.08.2011, 22:00

Dopap

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nun, dann muss man aber genau hinschauen was gemeint ist.

Der Bronstein verwendet das $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ als Implikation ( Subjunktion ) und das
"=" als Äquivalenz.

Kann man machen, nur fehlt dann ein eigenes Symbol für die " Folgerung"

Und damit sind mir bei der oft anzutreffenden Symbolverwirrung.

Um es nochmal zu verdeutlichen:

$\begin{eqnarray*} p\rightarrow q \Rightarrow \rm NOT( q) \rightarrow NOT ( q) \end{eqnarray*}$ (*)

haben die Rechtspfeile verschiedene Bedeutung.
Hier ist klar, was Verknüpfung und was Folgerung ist.

wenn man das nicht unterscheiden würde, hätte man:

$\begin{eqnarray*} p\Rightarrow q \Rightarrow \rm NOT( q) \Rightarrow NOT ( q) \end{eqnarray*}$
-------------------------------------------------------------
Obiges (*) weist man nach, indem man zeigt, dass

$\begin{eqnarray*} (p\rightarrow q )\rightarrow ((\rm NOT( q) \rightarrow NOT ( q)) \end{eqnarray*}$

eine Wahrform ist.

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