Höhe eines Brückenbogens berechnen

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logos Auf diesen Beitrag antworten »
Höhe eines Brückenbogens berechnen
Guten Abend.

Die Spannweite eines parabelförmigen Brückenbogens beträgt 40m
und der Anstiegswinkel liegt bei (siehe Skizze).

[attach]20924[/attach]

Welche Höhe h hat der Bogen?

Ansatz:
Wenn ich die angefangen Lininen weiterzeichne erhalte ich ein Dreieck.
Wenn man nun animmt, dass die Höhe dieses Dreiecks 2-mal so groß wie h ist,
gilt:

Die Hälfte von hDreieck müsste nun h entsprechen.
( h = 10m )

Kann das stimmen?

Vielen Dank.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

...

[Editiert]


Ja das ist richtig.
logos Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort Equester smile

Warum würde es bei einem anderem Winkel nicht klappen?

Ich könnte vielleicht eine Funktion aufstellen die diesen Brückenbogen beschreibt und dann durch das Maximum auf die Höhe kommen?

Jedoch weiß ich nicht, wie ich da genau anfangen soll unglücklich
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Hi logos,
sry, mein vorheriger Post war falsch.
Es ist immer möglich. Allerdings komme ich gerade nicht darauf warum dem so ist.


Eine Funktion können wir aber zusammen basteln. Damit komme ich klar Big Laugh

Was ist denn gegeben? Wie könnte man die Steigung verbauen?


(Ich überlege so lange, warum das gilt :P)
logos Auf diesen Beitrag antworten »

Okey, lass dir ruhig Zeit und auch wenn es dir nicht einfällt ist es ja nicht schlimm, danke für deine Zeit smile

Also gegeben ist, dass die Spannweite 40m beträgt -> da würde ich am Ende der Funktion "+40" als x-koordinatenachsen-Abschnitt wählen...?

Und zur Steigung kann man sagen, dass sie bei y=0, 1 beträgt, da der Anstiegswinkel 45° groß ist.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Also gegeben ist, dass die Spannweite 40m beträgt -> da würde ich am Ende der Funktion "+40" als x-koordinatenachsen-Abschnitt wählen...?
Oder einfacher gesagt: Nullstellen Augenzwinkern

Das mit der Steigung ist richtig. Es wäre also die Ableitung 1 zu setzen!



Es spielt übrigens eine Rolle wie du dein Koordinatensystem legst. Je nachdem wird
die Funktion dann einfacher aussehen.
Entweder du nimmst eine der Nullstellen als Koordinatenursprung. Oder du wählst
den Koordinatenursprung so, dass der Scheitelpunkt genau darüber liegt (was ich
vorziehen würde). Alle andere Versionen sind nicht zu empfehlen^^.
Du hast das erste gewählt. Mach damit ruhig weiter, merke dir aber auch die andere Möglichkeit.
 
 
logos Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid, dass ich dir die Frage stellen muss, aber wie geht man beim Aufstellen einer solchen Funktionsgleichung vor, bzw. gibt es eine allg. Form in die ich dann nur Steigung und andere Werte einsetzen muss?

ich erinnere mich allg. an:
y = mx + b

aber: y = x + 40 kann nicht stimmen..
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

^^

Da musst du auf das Stichwort "parabelförmig" schaun.
Eine Parabel ist gegeben durch y=ax²+bx+c.
Hier macht sich auch der Vorteil von meiner Variante bemerkbar -> b fällt raus,
denn unser Scheitelpunkt befindet sich direkt über dem Koordinatenursprung.


Dein y=mx+b ist was? Eine Parabel schon mal nicht...
logos Auf diesen Beitrag antworten »

Oh verdammt, y = mx + b beschreibt ja eine Gerade :P

a ist -1, da der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der x-Achse gespiegelt wird.

Für b kenne ich die Funktion leider nicht mehr.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Nana, so einfach kannst du es dir nicht machen.
Es ist richtig: a ist negativ, denn a gibt an, wie die Parabel geöffnet ist!
c gibt an, wo die y-Achse geschnitten wird und b ist ein weng komplizierter.
Nehmen wir mal doch meinen Weg. b bringt eine Verschiebung in x-Richtung. Die brauchen
wir nicht, da wir bei der 0 bleiben wollen.
Wir haben als a und c zu bestimmen.

a kann nicht einfach sein. Wie willst du sonst die Nullstellen bei
-20 und 20 hinkriegen? Augenzwinkern



Also:
Wir haben y=ax²+c und y'=2ax.
Zwei Unbekannte fordern zwei Gleichungen. Setze ein, was bekannt ist! Augenzwinkern
logos Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich weiß dass..
f(20) = 0 und f'(-20) = 1 sein muss.

f(x) = -ax^2 + 10
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich weiß dass..
f(20) = 0 und f'(-20) = 1 sein muss.

Ja das stimmt Freude

Doch dein Ergebnis ist ungenügend:
f(x) = -ax^2 + 10

Das a muss ersetzt werden durch eine Zahl!
logos Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt ich soll jetzt sagen, ob der Graph gestreckt oder gestaucht ist?
Kann ich den Wert für a irgendwie ablesen?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ja^^

Wie hast du denn c errechnet? Da musst du vorher wissen, was a ist! Oder du
hast geschummelt!
logos Auf diesen Beitrag antworten »

Verdammt, ich hab c einfach aus meinem 1.Lösungsweg übernommen, weil ich wusste das h 10m sind und die y-achse dann bei 10m geschnitten wird... :P

d.h. ich bin wieder hier:
Zitat:
Wir haben y=ax²+c und y'=2ax. Zwei Unbekannte fordern zwei Gleichungen. Setze ein, was bekannt ist! Augenzwinkern


weiß ich x und y?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Tststs, man merkt gleich, wenn du schummelst! Big Laugh


Du hast es eigentlich schon gesagt:
Bringe
Wir haben y=ax²+c und y'=2ax
und
Hmm, ich weiß dass..
f(20) = 0 und f'(-20) = 1 sein muss.

nun iwie zusammen. Das ist richtig und im Prinzip schon das Ergebnis smile
logos Auf diesen Beitrag antworten »

f'(x) = 2ax
f'(-20) = 1

-> 1 = 2a* (-20)
-> a = -1/40


f(x)=ax²+c
f(20) = 0

-> 0 = -1/40*20^2 + c
-> c = -10

y = -1/40ax^2 - 10

so?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

-> 0 = -1/40*20^2 + c
-> -c = -10

Da ist ein Vorzeichenfehler. Bringst du das c auf die andere Seite so heißt es -c.


y = -1/40ax^2 + 10

Schreibfehler? Das a hat da nichts mehr zu suchen.

Sonst sehr schön gelöst! Freude
logos Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, super hätte nicht gedachte das ist das schaffe smile
Und das nur wegen dir Equester!! Dankeschön smile

Und tut mir Leid wegen dem "unabsichtlichem" schummeln Big Laugh

Wünsche dir eine schöne Nacht Augenzwinkern
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Freut mich, wenn ich dir helfen konnte Augenzwinkern


Schau vllt bei Zeiten nochmals rein, wegen der halben Höhe des Dreiecks.
Selbst komme ich gerade nicht drauf, habe aber jemanden anderen drauf angesetzt smile

Wink
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Hi logos,
ich hab mal unseren Meistergeometriker riwe gefragt, wie das nun aussieht.
Anstatt wie gehofft selbst zu antworten (^^) habe ich diese PN:


"hallo equester,

zunächst gilt für die höhe des dreiecks mit der halben spannweite s (bei uns 20m) der brücke einfach

also hier H = s mit tan45° = 1

dass H = 2h - ich hoffe die notation ist klar, folgt aus dem - eher unbekannten - satz: die subtangente zum parabelpunkt P wird vom scheitel S halbiert.
(die subtangente ist die projektion des tangentenabschnitts auf die achse der parabel, also hier die höhe des dreiecks Augenzwinkern )

man kann das (hier) einfach so zeigen:



schnittpunkte mit der x-achse:

also

damit hat man

damit heißt die gleichung der tangente



gleichzeitig gilt für den scheitel der parabel

qued

also gilt dies völlig unabhängig vom anstieg der tangente"



Lies dir den Beitrag ruhig mehrmals durch (ich musste auch zweimal Augenzwinkern ), wenn
dann noch Fragen offen sind, gerne. Sonst schönen Tag noch
Wink


Noch ein Schaubild von riwe Augenzwinkern
logos Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, super erklärt und das Schaubild hat dazu prima geholfen.
Musste zwar mehr als nur 2mal lesen, habs aber vertsanden.

Danke nochmal an dich Equester und natürlich auch an riwe smile
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne Freude


Wink
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