Eindeutigkeit von Maßen

25.08.2011, 11:45

PsychoCat

Eindeutigkeit von Maßen

Hallo zusammen,

ein Maß ist ja eindeutig definiert durch seine Werte auf einem Erzeugendensystem der entsprechenden Sigma-Algebra.
Ist es dann auch schon eindeutig definiert über Integrale der Form $\begin{eqnarray*} \int_A f(x)\,dP(x) \end{eqnarray*}$ für A aus diesem Erzeugendensystem? Wobei f > 0 sein sollte (auf dem Träger von P). Für f konstant =1 wäre das dann gerade P(A) und somit offensichtlich. Für bspw. f(x)=x und P ein Maß auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ hätten wir dann sone Verzerrung dadrin, aber intuitiv würde ich sagen müsste das Maß immernoch eindeutig festgelegt sein.
Für diskrete Maße P ist das auch klar, man wählt einfach die einelementigen Mengen und bekommt nur irgendwelche Faktoren dazu. Für absolutstetige, also wenn P eine Dichte hat, bekomm ich das aber bisher nicht hin.
Jemand ne Idee wie man das zeigen könnte?

26.08.2011, 08:19

Felix

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Zitat:

ein Maß ist ja eindeutig definiert durch seine Werte auf einem Erzeugendensystem der entsprechenden Sigma-Algebra.

Es muss schon ein Semiring sein. Dann, falls das Maß Sigma-endlich ist, ja.

Was dein Problem angeht, man kann relativ leicht einsehen, dass mit $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \nu(A) := \int_A f(x) dP(x) \end{eqnarray*}$ Sigma-endlich ist. Damit folgt, dass für $\begin{eqnarray*} P,P' \end{eqnarray*}$ deren " $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ - Integrale" auf einem Semiring $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ übereinstimmen, auch folgt, dass sie die gleichen Nullmengen haben. Daher hat z.B. $\begin{eqnarray*} P' \end{eqnarray*}$ eine Dichte $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ . Nun gilt für alle $\begin{eqnarray*} A \in S \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \quad \nu(A) = \int_A d\nu =\int_A f dP = \int_A f dP' = \int_A fg dP = \int_A g d\nu =: \mu(A) \end{eqnarray*}$ . Wieder nach dem Eindeutigkeitssatz gilt nun $\begin{eqnarray*} \nu = \mu \end{eqnarray*}$ und damit gilt aber $\begin{eqnarray*} g = id \end{eqnarray*}$ f.ü. also $\begin{eqnarray*} P=P' \end{eqnarray*}$ .

26.08.2011, 19:25

PsychoCat

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Vielen Dank, hast mir sehr geholfen!

Aber es folgt bei dir g=1 oder? und nicht g=id

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