Poisson Approximation

Neue Frage »

piloan Auf diesen Beitrag antworten »
Poisson Approximation
Vom Ort A fahren gleichzeitig 2 Zuege nach B, die von insgesamt 100 Personen genutzt werden. Jede Person besteige unabhaengig von den anderen Personen mit Wk 1/2 einen der beiden Zuege . Wieviele Sitzplaetze muss jeder der Zuege mind haben wenn die Wk dafuer ,dass alle PErsonen einen Sitzplatz erhalten, mind 0.95 sein soll ?

nun hab ich gedacht macht man das mit der Poisson Approximation (habe auch schon im Forum gesucht )

da habe ich dann :
Erstmal ist das binomialverteilt mit p=0.5



und hier komm ich nicht mehr weiter... Hammer
AD Auf diesen Beitrag antworten »
Poisson-Approximation ist hier maximal unpassend!!!
Von der Problemstellung her handelt es sich hier ganz klar um eine Anwendung der Binomialverteilung, soweit hast du das wohl auch selbst erkannt.

Aber: Welcher Teufel hat dich geritten, diese hier mit der Poisson-Verteilung approximieren zu wollen??? Die Approximation ist nur sinnvoll für große und sehr kleine , wobei dann ist. Und ist Lichtjahre entfernt von "sehr klein",, das ist nämlich das genaue Gegenteil:

Bezogen auf symmetrische Eigenschaften der Binomialverteilungen und kann man nämlich als "maximal groß" bezeichnen!
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

ok ...sehe gerade,dass unser hiwi das fuer ne andere aufg gesagt hat LOL Hammer

aber ich weiss nie wann ich was anwenden muss ....wie gehe ich denn da vor ?
bil Auf diesen Beitrag antworten »

hi..

was ist hier dein n? 100 oder 1000? laut aufgabenstellung wären es 100 aber du hast mit 1000 gerechnet verwirrt

naja auch egal erstmal.
überleg dir mal was genau gesucht ist. z.b. wenn beide züge 100 sitzplätze hätten, dann wäre die wahrscheinlichkeit einen zu kriegen 100%. wir benötigen aber nur >0.95. wenn beide züge 50 hätten würde es schon sehr knapp werden, siehe (pro zug):
X=anzahl der belegten sitzplätze pro zug:



gruss bil
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@piloan

Geh doch erst mal direkt mit der Binomialverteilung ran. Sei

... Anzahl der Fahrgäste, die sich für Zug 1 entscheiden

Dann entscheiden sich Fahrgäste für Zug 2. Die Anzahl der Sitzplätze beider Züge sei jeweils , wobei natürlicherweise bei dieser Aufgabe nur die Betrachtung von Werten Sinn macht. Die Plätze reichen nun, wenn



gilt. Nun ist , diese Verteilung ist symmetrisch bzgl. 50, also kann man folgern



Und gesucht ist jetzt einfach das kleinste , was (*) erfüllt. Das kann man einfach durch sukzessives Summieren



feststellen. Vielleicht hast du aber auch eine dieser Verteilungsfunktionstabellen für die Binomialverteilung vorliegen, da müsstest du dann suchen, wo der Wert 0.975 überschritten wird... Augenzwinkern Kannst auch die Normalverteilungsapproximation nehmen, wo allerdings eine gewisse Restunsicherheit nach der genauen Grenze bleibt, weil für die Approximation noch nicht so sonderlich genau ist.

P.S.: Bei n=1000 sind die Werte entsprechend anzupassen...
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar ...hab ich super verstanden ..nun habe ich eine normalverteilungstabelle , die ich benutzen darf...

rechne ich dann fuer jede P(X=50) X=51 etc die neu verteilte,standardisierte Zufallsvariable

lt Wikipedia und dann schau ich in die Tabelle
 
 
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

is das korrekt ?.... und rechne ich dann erst die ganzen P() zusammen und setze dann in die Normalenverteilung ein ?
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

also habe es eben noch mal "schriftl" mit der binomialverteilung ausgerechnet und bin auf 531 gekommen ...aber das ist natuerlich mit einem Pc schnell gerechnet ...mit der Normalverteilungstabelle bin ich noch nicht ganz klar gekommen...falls einer mir sagen kann wie die funktioniert bin ich noch recht dankbar Augenzwinkern


nun habe ich noch eine Frage zu)

n studenten unterziehen sich einer Pruefung und wiederholen so lange sie bestehen. Die Pruefungsleistungen sind voellig unabhaengig und fuehren zu p=0.84 zu Erfolg.Da keiner aufhoert sind mit Wk 1 alle Studenten irgendwann durch.
Nun ist die Frage wie groß die WK ist,das bei n=196 Studenten mehr als 238 Pruefungen korrigiert werden muessen.

gesucht ist also X ist die Anzahl der zu korrigierenden Pruefungen.
also ich weiss auch das der ....soll ich das aehnlich wie oben rechnen oder gibt es hierfuer ne andere moeglichkeit....

gruß (
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bil
was ist hier dein n? 100 oder 1000? laut aufgabenstellung wären es 100 aber du hast mit 1000 gerechnet verwirrt

Mit den 531 hast du jetzt nur indirekt geantwortet, dass du eigentlich n=1000 meinst. Direkt habe ich da leider noch keine Bestätigung gehört...
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

achso ....na ich meinte die ganze zeit n=1000.....da muss der bil einen anderen zettel haben oder viell doch wo anders studieren Wink
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nö, du hast von 100 geredet - siehe Anfangspost.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

ja ok ich sehs .......ich meinte aber nicht 100 sondern 1000....und bil meinte glaube ich 100...naja ...tut mir leid
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von piloan
n studenten unterziehen sich einer Pruefung und wiederholen so lange sie bestehen. Die Pruefungsleistungen sind voellig unabhaengig und fuehren zu p=0.84 zu Erfolg.Da keiner aufhoert sind mit Wk 1 alle Studenten irgendwann durch.
Nun ist die Frage wie groß die WK ist,das bei n=196 Studenten mehr als 238 Pruefungen korrigiert werden muessen.

gesucht ist also X ist die Anzahl der zu korrigierenden Pruefungen.
also ich weiss auch das der ....soll ich das aehnlich wie oben rechnen oder gibt es hierfuer ne andere moeglichkeit....

Sei die zufällige Anzahl der bestandenen Prüfungen bei Versuchen. Dann ist , da wir von Unabhängigkeit sowohl der Prüfungen, als auch der Prüfungsversuche ein- und derselben Leute ausgehen. In dem Zusammenhang kann man dann die Zufallsgröße



der nötigen Prüfungsversuche definieren. Wegen der Monotonie folgt nun aber



und das rechts kannst du jetzt für leicht über die Binomialverteilung (oder deren Normalverteilungsapproximation) berechnen.


EDIT: Hab ich mich verlesen, 196 statt 192... Außerdem geht es hier eher um das Komplement

piloan Auf diesen Beitrag antworten »

hmhm ...da komm ich nun garnicht mehr mit....

also hab ich verstanden als die zufaellige Anzahl der bestandenen Prüfungen bei k Versuchen. Also zb im ersten Versuch bestehen 120 Leute ...also S_1 =120.....warum lass ich denn nun k bis 238 laufen...ich moechte doch das mit der Anzahl der Klausuren zusammenbringen und nicht mit den Versuchen ?! ..

ok das komplement wollte ich auch gerade fragen....dann habe ich 20 % raus wenn ich das einfach so annehme was du sagst ....also P(S_k<196)
vielleicht kannst du mir das noch mal erklaeren ...
und wie kann ich die lange binomialsumme approximieren.....das bekomme ich auch nicht hin unglücklich
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nein, ich meine einzelne Prüfungen, also jeweils immer nur für eine Person! So habe ich die Aufgabe auch verstanden - es werden doch nicht 238 (!!!) angesetzte Prüfungstermine für alle gemeint sein... geschockt geschockt geschockt
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

wie sieht denn
aus ?.....muss ja irgendwie binomialverteilt sein, ich dreh gleich durch ....bei wikipedia hab ich gelesen und verstanden ,dass für sehr große Werte von n kann diese Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden.

ich bekomme das weder fuer dieses studenten beispiel noch fuer die zugfahrt hin.....irgendwie muss man doch auf das s=Anzahl der Sitzplaetze und auf die Wk kommen ausser durch pures raten, und Summen ausrechnen unglücklich unglücklich unglücklich unglücklich
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Raten hat das nichts zu tun: Diese Approximation basiert auf dem Grenzwertsatz von Moivre-Laplace und kann salopp so formuliert werden:

, was wiederum mit einer sogenannten Stetigkeitskorrektur die Approximationsformel

für ganzzahlige

zur Folge hat, dabei ist die üblicherweise bekannte Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung . Schau dich mal im Forum um, da gibt es Hunderte solcher Berechnungen...
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

danke fuer die muehe ...ich verstehe es auch was du sagst aber ich seh es momentan wirklich nciht was ich bei den beiden aufgaben machen muss...hab ein brett vorm kopf.....sorry..... unglücklich
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Fangen wir mal bei der ersten an - da waren wir soweit:

Zitat:
Original von Arthur Dent (angepasst an n=1000)

mit , also folgt mit und :



Daraus soll jetzt das gewonnen werden, was dummerweise zweimal rechts auftaucht. Aber wir haben ja noch die Symmetrie , die wir hier nun für genau nutzen können, dann gilt nämlich eingesetzt



oder umgeformt



Jetzt gibt es zu die Umkehrfunktion, sogenannte Quantile , das sind die Werte mit . Wenden wir diese Umkehrfunktion auf die letzte (Un-)Gleichung an:

, d.h. .

Jetzt schaut man in der Tabelle nach: , das führt zu , und da ganzzahlig sein muss, zu .


Ich denke, sowas kommt heutzutage im Gymnasium bereits vor, hast du das alles vergessen? Dann schau dir die zahlreichen Threads im Forum an!
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

na das hab ich jetzt sogar verstanden .... Freude ...das kommt auch heutzutage schon im gymnasium dran...wir hatten jedoch damals nur einen kleinen anteil an stochastik....heute haben die kids das schon in der zehnten klasse.....




bei der zweiten waer nach deinen angaben ja

nun habe ich das problem,dass ich nicht weiss was ich bei

machen soll. bei der ersten hatte ich ja dann direkt die ZV X mit der ich arbeiten konnte.....

gruß
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

falsch editiert Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von piloan
nun habe ich das problem,dass ich nicht weiss was ich bei

machen soll

Na genauso! Jetzt streng dich aber mal an.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich kann das selbst machen ...will ich ja auch ...aber wenn ich mir die Binominalverteilung anschaue fehlen mir die Grenzen..wie kann ich denn das Intervall beschreiben ?...das brauche ich smile
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

habs nun wirklich versucht ....hab

rausbekommen und sonst noch welche ergebnisse mit 30% ...das ist wohl was hoch ....habe alles so gemacht wie du das auch gemacht hast ...(wahrscheinlich doch nicht verwirrt )
aber irgendwie blick ichs heut nicht mehr ...bin sonst morgen frueh nochma im forum .... danke schoen im vorraus!! Prost
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

nun hab ich 21 % raus ...hoffe das stimmt Big Laugh
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt. Und um mal den Fehler der Normalverteilungsapproximation einzuschätzen:

genaues Ergebnis (mit Binomialverteilung), auf 5 Nachkommastellen: 0.21493
Approximation (mit Normalverteilung), auf 5 Nachkommastellen: 0.21725

Hat also nicht viel Sinn, bei Verwendung der Approximation einen Wert genauer als die 21% anzugeben. Augenzwinkern
Enigmation Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,
will auf diesen Zug mal aufspringen ;-)
Wir haben 2 Züge, der eine Zug X mit 761 Sitzplätzen und der andere Zug Y mit 510 Sitzplätzen. 1000 Fahrgäste teilen sich zu jeweils p=1/2 auf diese Züge auf.
Bereits ausgerechnet habe ich, dass bei Zug X man zu p=0,01 und bei Zug Y mit p=0,34 keinen Sitzplatz bekommt
Kann man die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, in einem Zug einzusteigen und stehen zu müssen, einfach als arithmetisches Mittel errechnen: ?
Ralf Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die gleiche Frage wie der Threadstarter, aber die Antwort nicht so richtig verstanden: unglücklich

Von Ort A nach Ort B fahren gleichzeitig zwei Züge, die von insgesamt 1000 Personen benutzt werden. Jede Person besteige unabhängig von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit p = 1/2 einen der beiden Züge. Wieviele Sitzplätze muss jeder der Züge mindestens haben, wenn alle Personen mit 99,5%-iger Wahrscheinlichkeit einen Sitzplatz erhalten?

Kann mir das bitte vielleicht einer noch einmal erklären und die verwendeten Formeln dazu posten? Danke.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann natürlich nicht für alle sprechen, aber ich sehe keine so rechten Sinn darin, alles nochmal von vorn zu erzählen, was hier im Thread bereits recht gut erklärt wurde. Wenn es um konkrete Detailfragen geht, dann gern.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »