Verknüpfungstabelle

26.08.2011, 18:44	LikedMath	Auf diesen Beitrag antworten »
Verknüpfungstabelle Meine Frage: Es sei $\begin{eqnarray} G := \{e, g_1, g_2, g_3\} \end{eqnarray}$ eine e-elementige Gruppe mit neutralem Element e. Die Verknüpfung auf G werde mit $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ bezeichnet. Außerdem seien in G folgende Gleichungen erfüllt: $\begin{eqnarray} g_1 \circ g_1 = g_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_1 \circ g_2 = g_3 \end{eqnarray}$ . a) Stellen Sie die Verknüpfungstafel von G auf. Meine Ideen: Man weiß ja, dass jedes Element nur in einer Zeile und in einer Spalte auftreten darf. Daher sieht meine VT bisher folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray} \circ \hspace{5 mm} e \hspace{5 mm} g_1 \hspace{5 mm} g_2 \hspace{5 mm} g_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e \hspace{5 mm} e \hspace{5 mm} g_1 \hspace{5 mm}g_2 \hspace{5 mm} g_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_1 \hspace{5 mm} g_1 \hspace{5 mm}g_2 \hspace{5 mm} g_3 \hspace{5 mm} e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_3 \end{eqnarray}$ Doch wie komme ich auf die dritte und vierte Zeile? Ist die Verknüpfung kommutativ?
26.08.2011, 19:51	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte $\begin{eqnarray} g_2 \circ g_1 \end{eqnarray}$ , beachte was über $\begin{eqnarray} g_2 \end{eqnarray}$ gegeben ist und nutze die Assoziatiativität der Verknüpfung.
26.08.2011, 22:53	LikedMath	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir noch ziemlich unsicher. Ist $\begin{eqnarray} g_1 \circ g_2 \end{eqnarray}$ die linke Seite mit der oberen Seite?!
27.08.2011, 19:41	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich lese deine Tabelle so, dass das Ergebnis von $\begin{eqnarray} g_2 \circ g_1 \end{eqnarray}$ noch nicht eingetragen ist. Ist das was du meinst?
27.08.2011, 20:01	LikedMath	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau. Wie finde ich denn heraus, was bei der Verknüpfung $\begin{eqnarray} g_2 /circ g_1 \end{eqnarray}$ herauskommt? Mir fällt gerade auf, dass ich die erste komplette Spalte vergessen haben. Aber da die Verknüfpung nur mit dem neutralen Element ist, kommt natürlich wieder das selbe heraus.
27.08.2011, 20:06	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ich schon sagte: Schau dir an, was über $\begin{eqnarray} g_2 \end{eqnarray}$ gegeben ist und benutze das Assoziativgesetz.
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