Sind diese Mengen Gruppen? |
| 20.12.2006, 14:48 | dispy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Sind diese Mengen Gruppen? die Aufgabe ist bestimmt leicht aber wir haben gerade erst mit dem Thema angefangen und ich weiß nicht genau, wie ich das angehen soll. Also: Prüfen Sie, ob die folgenden Mengen mit der Verknüpfung * Gruppen sind: (a) G = R, x*y = 3x+4y. (b) G = R³, x*y = x (x) y (Vektorprodukt). (c) G = R², (x1, x2)*(y1,y2) = (x1y1, x1y2 + x2). Ist (x1, x2)*(y1, y2) = (y1, y2)*(x1, x2) ? Ich kenne als Kriterien die Assoziativität und die Existenz eines neutralen Elements und eines Inversen zu jedem Element der Menge, aber ich weiß halt nicht, wie ich das zeigen kann. DIe Assoziativität könnte ich an nem Beispiel zeigen aber das ist ja kein Beweis. Ich bin echt für jede Hilfe dankbar. mfg |
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| 20.12.2006, 15:02 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sind diese Mengen Gruppen?
Hallo und willkommen! Fangen wir mit (a) an: Gruppe oder Nicht-Gruppe, das ist die Frage. (frei nach Shakespeare) Was denkst du? |
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| 20.12.2006, 15:36 | dispy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich weiß nicht, ob man das so machen kann aber wenn ich (x*y)*(x' * y') und x*(y * x') * y' rechne, kommt was verschiedenes raus und damit wäre es keine Gruppe, weil nicht assoziativ. |
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| 20.12.2006, 15:54 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vom Prinzip her der richtig Ansatz. Es würde aber reichen, wenn du zeigst, daß (x*y)*z ungleich x*(y*z) ist. |
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| 20.12.2006, 15:59 | dispy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok, danke! zu b): ich weiß ja, dass das Vektorprodukt nicht assoziativ ist. Kann ich das genauso zeigen? zu c) hab ich irgendwie gar keine Idee. |
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| 20.12.2006, 16:09 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Prinzip ja.
Ich vermute mal, daß da auch eine Gruppeneigenschaft verletzt ist. ich müßte jetzt aber auch erstmal suchen. |
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| 20.12.2006, 16:24 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ich das richtig sehe, ist c) nur ein Monoid. D.h., nicht jedes Element besitzt auch ein Inverses. |
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| 20.12.2006, 21:22 | dispy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo! Monoide kenne ich leider noch nicht. Aber zu b) ist mir noch eingefallen, dass es da kein neutrales Element gibt. Nur wie kann man das zeigen? mfg |
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| 20.12.2006, 21:36 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist mir schon klar, dass das nicht so bekannt ist, daher ja die nähere Erklärung, wie du das Gegenbeispiel findest:
Also immer zu Ende lesen. 
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Unwissenschaftlich!