Integration durch Substitution

27.08.2011, 14:52

schlagzeugfreak

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Integration durch Substitution

Meine Frage:
Ich wollte fragen ob ich diese Aufgabe richtig gerechnet habe, denn wenn ja, habe ich mit der folgenden Aufgabe ein Problem.
Aber eins nach dem anderen.
Ich substituiere mit folgender Formel:
f(x)=ax+b F(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}*U*ax+b^{hochzahl+1} \end{eqnarray*}$

Zur Aufgabe:

f(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{(9+2x)²} \end{eqnarray*}$
Mein Rechenweg ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{9}*\frac{2}{-2+1} *(9+2x)^{-2+1} \end{eqnarray*}$
Daraus ergibt sich dann $\begin{eqnarray*} \frac{-2}{9} * \frac{1}{(9+2x)} \end{eqnarray*}$

Stimmt meine Rechnung?
Denn wenn ja komme ich jetzt zu einer für mich unlösbaren Aufgabe wenn ich nach diesem Prinzip gehe:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5x+2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} 1* (5x+2)^{-1} \end{eqnarray*}$
wird integriert zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} *\frac{1}{-1+1}*(5x+2)^{-1+1} \end{eqnarray*}$

Und dies ist so ziemlich unlösbar!

27.08.2011, 16:28

frank09

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Stimmt meine Rechnung?

Nein.

Die Formel für (lineare) Substitution lautet (C =Integrationskonstante):

$\begin{eqnarray*} \int \! f(mx+b) \, dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C \end{eqnarray*}$

Im ersten Fall (die 2 kannst du vor das Integral ziehen) ist $\begin{eqnarray*} f(mx+b)=(2x+9)^{-2} \end{eqnarray*}$

Für den zweiten Fall solltest du selbst draufkommen.
Es gilt übrigens $\begin{eqnarray*} \int \!\frac{1}{x} \, dx=ln x+C \end{eqnarray*}$

27.08.2011, 16:51

schlagzeugfreak

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RE: Integration durch Substitution
Was stimmt den an meiner Rechnung nicht genau?
Mit deiner Formel habe ich jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{-2}{9} * (9+2x)^{-2} +C \end{eqnarray*}$ heraus.

27.08.2011, 17:51

frank09

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RE: Integration durch Substitution
Wenn $\begin{eqnarray*} mx+b=2x+9 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
oder nicht? Du kannst deine Lösung ja mal ableiten und solltest feststellen, dass die innere Ableitung nicht 9 ist.

27.08.2011, 18:09

schlagzeugfreak

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RE: Integration durch Substitution
ahhhhh ok jetzt verstehe ich was du meinst.
Dann müsste dieses Ergebnis nun aber stimmen:
$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{(2x+9)} +C \end{eqnarray*}$

Aber wie rechne ich dann zB
f(x)=2/4x+4 ? Denn da ist die vorher genannte Formel ja nicht anwendbar oder?

27.08.2011, 20:25

frank09

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Es gilt doch
$\begin{eqnarray*} f(mx+b)=(4x+4)^{-1} \end{eqnarray*}$

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27.08.2011, 20:44

schlagzeugfreak

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ja aber die Aufgabe ist dann etwas komisch, da sie dann so aussieht:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} *\frac{2}{0}*(4x+4)^{0} \end{eqnarray*}$
Und durch die $\begin{eqnarray*} \frac{2}{0} \end{eqnarray*}$ ist die Aufgabe einer Meinung nach nicht rechenbar

27.08.2011, 23:10

frank09

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RE: Integration durch Substitution
Wie in meiner ersten Antwort schon erwähnt gilt
$\begin{eqnarray*} \int \!\frac{1}{x} \, dx=ln x+C \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2}{4x+4} \, dx=\frac{1}{2}ln({4x+4})+C \end{eqnarray*}$

27.08.2011, 23:25

schlagzeugfreak

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RE: Integration durch Substitution
Sorry aber ich versteh auf keinem Auge wie du auf die Lösung kommst.
Könntest du das bitte mit Zwischenschritten und in aller Ausführlichkeit erklären?

28.08.2011, 00:36

Peter82

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bist du auch als

27.08.2011
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Letzter Beitrag: » Si-Basiseinheiten
Geschrieben: Gestern, 22:34
Forum: Algebra

Angemeldet was soll das???? unglücklich

unglücklich

böse

Lehrer

Wenn du es nicht verstehst, dann lerne es

kümmere dich um deine Beiträge wir unterstützen ihr nicht deine Faulheit, das wenn kein Ergebniss von uns kommten das du dich dann wieder neu oder auch unter einem neuen Namen als Gast an meldest

28.08.2011, 00:44

schlagzeugfreak

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Hä wie kommst du denn darauf dass ich 2x mal angemeldet bin?
Diese Anschuldigung weise ich strikt von mir, überprüfe bitte erstmal deine Quellen bevor du mich beschuldigst!
Ich bin nur einmal angemeldet:schlagzeugfreak und das wars!
Und ich glaube nicht dass ich hier irgendeine Art von Faulheit an den Tag lege.
Wenn du meinen Beitrag von vorneherein durchliest dann merkst du das auch!
Sry aber bei sowas werd ich echt grantig!

28.08.2011, 00:44

Cel

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@Peter82: Wie kommst du darauf? Jedenfalls besteht hier kein offenbarer Zusammenhang. Das könnte man jedenfalls auch netter formulieren. Außerdem haben wir Mods auch ein offenes Auge für so was, keine Sorge.

@schlagzeugfreak: Du bist nur einmal angemeldet, lass dich nicht provozieren.

Bitte back to topic. smile

smile

28.08.2011, 01:04

Peter82

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Jeder Mensch hat seine eigene Art und Weise wir er etwas schreibt dies ist wie ein Fingerabdruck immer einzigartig und es lässt sich nicht verändern sein ganzes Leben lang nicht weil er es so gelehrnt hat, wenn man es versucht es zu ändern fällt man irgendwann wieder zurück.

und dein "Fingerabdruck" taucht hier sehr oft auf, ob Angemeldet oder als Gast und nicht nur hier auch bei (physikerboard.de) ist dies das Gleiche

das ist doch sehr, sehr komisch besonders, wenn keine Antwort von uns kam tauchte dein "Fingerabdruck" wieder auf (und der Beitrag "gammelt" vor sich in) Angemeldet oder als Gast verwirrt

verwirrt

28.08.2011, 01:35

schlagzeugfreak

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Ja,ich bin auch bei Physikerboard unter dem gleichen Nickname angemeldet, weil ich diese Foren sehr schätze. Allerdings habe ich mich noch nie unter "Gast" angemeldet und du hast ja mal absolut keine Ahnung. Sehs ein, du hast verloren. Du suchst nach etwas, was es gar nicht gibt. Aber wenn du sonst keine Hobbys hast mach bitte weiter aber belästige die Mods und mich damit bitte nicht. Ich mein: Jeder Mensch braucht etwas was ihn antreibt. Und wenn du aus deinem Kaffeesatz gelesen hast, dass ich hier anscheinend mehrfach angemeldet bin usw und du dich jetzt auf die unendliche Suche nach Beweisen (die es leider gar nicht gibt...traurig,traurig) machst, dann mach das.
Ich entschuldige mich bei den Mods dass ich etwas rüpelhaft geworden bin, aber solche unbegründeten und falschen Anschuldigungen lasse ich mir nicht gefallen, auch wenn ich weiß dass ich im Recht bin!
Gute Nacht
@Peter:bitte geh auch alsbald ins Bett, denn wenn du noch länger meine "ach so weitreichende Spur" hier im Board verfolgst, hast du einfach nur Zeit verschwendet. Nutz diese Zeit doch für etwas Schönes. Schau doch Bäumen beim wachsen zu oder schau die Herr der Ringe Trilogie + alle Harry Potter Filme

28.08.2011, 23:28

frank09

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Bitte back to topic. smile

smile

Also: Man nennt es Substitution, weil man (fast) genauso integriert, wenn man die innere Funktion durch eine Variable ersetzt (z.B. z statt 4x+4)

Also integrieren wir statt $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2}{4x+4} \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2}{z} \, dz \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 2\int \! \frac{1}{z} \, dz \end{eqnarray*}$

Wie du schon selbst versucht hast, kann man die Stammfunktion nicht mit der Potenzregel "Exponent +1" und "mal Kehrwert des erhöhten Exponenten" herleiten, sondern es gilt $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x}; F(x)=ln(x) \end{eqnarray*}$

somit
$\begin{eqnarray*} 2\int \! \frac{1}{z} \, dz=2ln(z) \end{eqnarray*}$
Nun natürlich z wieder durch die ursprüngliche Funktion 4x+4 ersetzen ("resubstituieren") und mit dem Faktor
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} =\frac{1}{z'}=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ malnehmen.
Das deshalb, weil beim Ableiten von ln (4x+4) gegenüber ln(z) zusätzlich noch mit der inneren Ableitung malgenommen werden muss. Also
$\begin{eqnarray*} 2\int \! \frac{1}{4x+4} \, dx=\frac{1}{4} \cdot2 ln(4x+4) \end{eqnarray*}$

Zur Probe ableiten und du siehst, dass es hinkommt.

29.08.2011, 14:20

schlagzeugfreak

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RE: Integration durch Substitution
ah ok dann ist das ja gar nicht so schwierig smile

smile

Ich habe mich mal an einer weiteren Aufgabe probiert:f(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{5}{2x+1} \end{eqnarray*}$
müsste doch dann zu F(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*5ln(2x+1) \end{eqnarray*}$ werden?
Vielen Dank für deine Hilfe

29.08.2011, 14:35

schlagzeugfreak

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RE: Integration durch Substitution
und weils so viel Spaß macht habe ich noch eine Aufgabe gefunden:
f(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x+4} \end{eqnarray*}$ müsste zu F(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} ln(2x+4) \end{eqnarray*}$ werden.

Wenn die beiden von mir gelösten Aufgaben stimmen bist du ein prima Lehrmeister smile

smile

29.08.2011, 15:12

klarsoweit

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RE: Integration durch Substitution
Das ist ok, wenn man mal von der fehlenden Integrationskonstante absieht. smile

smile

29.08.2011, 15:35

schlagzeugfreak

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RE: Integration durch Substitution
Die Integrationskonstante haben wir bei Integrationsaufgaben, die wir in der Schule behandelt haben, noch nie dazugemacht.
Aber ich glaube es wäre ganz praktisch sich dies anzugewöhnen smile

smile

Danke

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