Chebyshev Unverständnis zu T_{n+1}(y_i)=0

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pablosen Auf diesen Beitrag antworten »
Chebyshev Unverständnis zu T_{n+1}(y_i)=0
Hallo liebes Forum

Bezüglich den Chebyshev-Polynomen haben wir im Skript diese Gleichung gegeben:

[latex]T_{n+1}(y_i)=0 \forall i=0,...,n[/latex]

Nun ist aber bspweise [latex]T_0=1[/latex] und [latex]T_1=x[/latex] und

[latex]T_1(T_0(x))=1\neq0[/latex]

Was habe ich denn da jetzt falsch verstanden?

Es ist doch [latex]y_0=T_0(x)=1 \forall x \in \mathbb{R}[/latex] ?
Grüsse
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Chebyshev Unverständnis zu T_{n+1}(y_i)=0
Die y_i sind die Nullstellen dieser Polynome, schlag diese nochmal nach.
Bei der Polynominterpolation sind diese Nullstellen gerade die optimalen Stützstellen.
 
 
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Chebyshev Unverständnis zu T_{n+1}(y_i)=0
Danke, das ist mal klar.

Was ich aber komisch finde. Laut dieser URL hier:

http://www.mathematik.uni-ulm.de/numerik.../Orthogonal.pdf

Sind die Cheby-Polynome orthogonal zueinander. Polynome sind orth. zueinander, wenn ihr SKP = 0 ist. Nun ist laut dieser URL:

http://uni-ka.the-jens.de/inhalte/tutorium_c2_02.pdf

das hier ein Skalarprodukt:

[latex]<f(x),g(x)>=\int_{b}^a f(x)*g(x)[/latex]

Angewendet auf [latex]T_0(x)=1[/latex] und [latex]T_1(x)=x[/latex] ist aber

[latex]<T_0(x),T_1(x)>= \int_{b}^a 1*x=\frac{x^2}{2} |_{b}^a=\frac{a^2-b^2}{2}\neq 0[/latex] füür a,b beliebig.

Warum das?

Grüsse
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Chebyshev Unverständnis zu T_{n+1}(y_i)=0
Zitat:
Original von pablosen
Danke, das ist mal klar.

Was ich aber komisch finde. Laut dieser URL hier:

http://www.mathematik.uni-ulm.de/numerik.../Orthogonal.pdf

Sind die Cheby-Polynome orthogonal zueinander. Polynome sind orth. zueinander, wenn ihr SKP = 0 ist. Nun ist laut dieser URL:

http://uni-ka.the-jens.de/inhalte/tutorium_c2_02.pdf

das hier ein Skalarprodukt:

[latex]<f(x),g(x)>=\int_{b}^a f(x)*g(x)[/latex]

Angewendet auf [latex]T_0(x)=1[/latex] und [latex]T_1(x)=x[/latex] ist aber

[latex]<T_0(x),T_1(x)>= \int_{b}^a 1*x=\frac{x^2}{2} |_{b}^a=\frac{a^2-b^2}{2}\neq 0[/latex] füür a,b beliebig.

Warum das?

Grüsse
Wenn du dir im ersten Skript mal Beispiel 1 anschaust, dann steht da bei den Tschebyschow-Polynomen noch die Zusatzbedingung a = 1, b = -1, damit sind sie orthogonal Augenzwinkern
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön
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