Komplexe Zahlen - Beweis

27.08.2011, 21:36

Pascal95

Komplexe Zahlen - Beweis

Hallo,

ich möchte folgende Aussage beweisen:

Man multipliziert zwei komplexe Zahlen, indem man ihre Winkel addiert und ihre Beträge multipliziert.

Da hier von Winkel und Betrag gesprochen wird, möchte ich die Polarform benutzen.

Man kann ja die komplexen Zahlen von der Kartesischen Schreibweise in Polarform umwandeln.

$\begin{eqnarray*} A\ =\ (a,~a') \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B\ =\ (b,~b') \end{eqnarray*}$

Daraus lässt sich herleiten:

$\begin{eqnarray*} \varphi_A\ =\ \operatorname{arctan}\left( \frac{a'}{a} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \varphi_B\ =\ \operatorname{arctan}\left( \frac{b'}{b} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_A\ =\ \sqrt{a^2+a'^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r_B\ =\ \sqrt{b^2+b'^2} \end{eqnarray*}$

Dabei verwende ich folgende Bezeichnungen:
[attach]20967[/attach]

Die Aussage oben sagt ja auch:
$\begin{eqnarray*} r_A\cdot r_B\ =\ r_{A\cdot B} \end{eqnarray*}$

Dann würde ich über die Definition gehen:
$\begin{eqnarray*} A\cdot B=(a,~a')\cdot(b,~b')=(ab-a'b',~ab'+a'b) \end{eqnarray*}$
Das heißt:
$\begin{eqnarray*} r_{A\cdot B}=\sqrt{(ab-a'b')^2+(ab'+a'b)^2} \end{eqnarray*}$ .

Wobei:
$\begin{eqnarray*} r_A\cdot r_B = \sqrt{a^2+a'^2}\cdot \sqrt{b^2+b'^2}=\sqrt{(a^2+a'^2)\cdot (b^2+b'^2)} \end{eqnarray*}$

Ich muss also nachweisen, dass folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} r_{A\cdot B} &=& r_A\cdot r_B \sqrt{(ab-a'b')^2+(ab'+a'b)^2} &=& \sqrt{(a^2+a'^2)\cdot (b^2+b'^2)} (ab-a'b')^2+(ab'+a'b)^2 &=& (a^2+a'^2)\cdot (b^2+b'^2) ...&... & ... \end{eqnarray*}$

Allerdings erhalte ich nicht entsprechendes!

Wo ist der Fehler?

Vielen Dank,

27.08.2011, 22:04

Dopap

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du schreibst komplexe Zahlen in Polarkoordinatendarstellung.

$\begin{eqnarray*} c=(r,\phi) \end{eqnarray*}$

das kann man machen, muss aber dann beachten dass die komplexe Zahl in Wirklichkeit

$\begin{eqnarray*} c=re^{i\phi}= r\cdot (\cos (\phi)+i \sin (\phi)) \end{eqnarray*}$ ist, wobei das ein Hinweis ist,falls du es übersehen hättest.

28.08.2011, 00:31

Pascal95

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Aha,

daran habe ich nicht gedacht.

Es ist also $\begin{eqnarray*} r\operatorname e^{\operatorname i \varphi} \end{eqnarray*}$ die eindeutig bestimmte komplexe Zahl mit dem Argument (Winkel, Phase...) $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und dem Betrag $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .
(nicht ganz sicher !)

Und nach der Eulerschen Formel:
$\begin{eqnarray*} r\operatorname e^{\operatorname i \varphi}= r\cdot (\cos (\varphi)+\operatorname i \sin (\varphi)) \end{eqnarray*}$ .

Nun muss ich zeigen, dass ich die komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ so multiplizieren kann, wie ich es gewohnt mache, oder sie über den anfangs genannten Satz multiplizieren kann - und dasselbe herauskommt.

Jetzt bin ich mir allerdings unsicher, ob ich die Komplexen Zahlen so multiplizieren soll:
$\begin{eqnarray*} A\cdot B=(a,~a')\cdot(b,~b')=(ab-a'b',~ab'+a'b) \end{eqnarray*}$

oder sie erstmal anhand der Formeln in Polarform umwandeln soll und dann mit der Eulerschen Formel multiplizieren soll ?

Ich gehe mal Weg 2, da ich ihn vorhin nicht genommen habe:

$\begin{eqnarray*} A=r_A\operatorname e^{\operatorname i \varphi_A}= r_A\cdot (\cos (\varphi_A)+\operatorname i \sin (\varphi_A)) \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} B=r_B\operatorname e^{\operatorname i \varphi_B}= r_B\cdot (\cos (\varphi_B)+\operatorname i \sin (\varphi_B)) \end{eqnarray*}$

Mit:

$\begin{eqnarray*} \varphi_A\ =\ \operatorname{arctan}\left( \frac{a'}{a} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \varphi_B\ =\ \operatorname{arctan}\left( \frac{b'}{b} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_A\ =\ \sqrt{a^2+a'^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r_B\ =\ \sqrt{b^2+b'^2} \end{eqnarray*}$

Dann ist:
$\begin{eqnarray*} A=\left( \sqrt{a^2+a'^2} \right)\cdot \left( \cos \left( \operatorname{arctan} \left( \frac{a'}{a} \right) \right) +\operatorname i \sin \left( \operatorname{arctan} \left( \frac{a'}{a} \right) \right) \right) \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} B=\left( \sqrt{b^2+b'^2} \right)\cdot \left( \cos \left( \operatorname{arctan} \left( \frac{b'}{b} \right) \right) +\operatorname i \sin \left( \operatorname{arctan} \left( \frac{b'}{b} \right) \right) \right) \end{eqnarray*}$

Und dann wäre:
$\begin{eqnarray*} A\cdot B= \left( \sqrt{a^2+a'^2} \right)\cdot \left( \cos \left( \operatorname{arctan} \left( \frac{a'}{a} \right) \right) +\operatorname i \sin \left( \operatorname{arctan} \left( \frac{a'}{a} \right) \right) \right)\ \ \ \cdot\ \ \ \left( \sqrt{b^2+b'^2} \right)\cdot \left( \cos \left( \operatorname{arctan} \left( \frac{b'}{b} \right) \right) +\operatorname i \sin \left( \operatorname{arctan} \left( \frac{b'}{b} \right) \right) \right) \end{eqnarray*}$

----

Da man aber sowieso umwandeln kann (kartesische Koord. <-> Polarform), werde ich das mit Polarform machen:

$\begin{eqnarray*} A\cdot B &=& r_A\operatorname e^{\operatorname i \varphi_A} \cdot r_B\operatorname e^{\operatorname i \varphi_B} &=& r_A\cdot (\cos (\varphi_A)+\operatorname i \sin (\varphi_A)) \cdot r_B\cdot (\cos (\varphi_B)+\operatorname i \sin (\varphi_B)) \end{eqnarray*}$

-----

Und jetzt nach dem zu beweisendem Satz:

$\begin{eqnarray*} A=r_A\operatorname e^{\operatorname i \varphi_A}= r_A\cdot (\cos (\varphi_A)+\operatorname i \sin (\varphi_A)) \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} B=r_B\operatorname e^{\operatorname i \varphi_B}= r_B\cdot (\cos (\varphi_B)+\operatorname i \sin (\varphi_B)) \end{eqnarray*}$

werden multipliziert, indem Phase addiert, Betrag multipliziert wird:

$\begin{eqnarray*} A&=&(r_A,\varphi_A) B&=&(r_A,\varphi_A) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\ \ A\cdot B=(r_A\cdot r_B,\varphi_A+\varphi_B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A\cdot B &=& (r_A\cdot r_B,\varphi_A+\varphi_B) &=& r_A\cdot r_B\operatorname e^{\operatorname i (\varphi_A+\varphi_B)}= r_A\cdot r_B\cdot (\cos (\varphi_A+\varphi_B)+\operatorname i \sin (\varphi_A+\varphi_B)) \end{eqnarray*}$
(mit $\begin{eqnarray*} r\operatorname e^{\operatorname i \varphi}= r\cdot (\cos (\varphi)+\operatorname i \sin (\varphi)) \end{eqnarray*}$ )

Wenn ich mich jetzt nicht total täusche, muss man "lediglich" zeigen:
$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{c} \ensuremath{ r_A\cdot (\cos (\varphi_A)+\operatorname i \sin (\varphi_A)) \cdot r_B\cdot (\cos (\varphi_B)+\operatorname i \sin (\varphi_B))} \\ \ensuremath = \\ \ensuremath {r_A\cdot r_B\cdot (\cos (\varphi_A+\varphi_B)+\operatorname i \sin (\varphi_A+\varphi_B))} \end{tabular} \end{eqnarray*}$

Bevor ich da ran gehe, würde es mich interessieren, ob sich meine bisherigen Anstrengungen ausgezahlt haben...

28.08.2011, 00:41

Leopold

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Eine einfache Berechnungsformel für das Argument gibt es nicht. Da muß man schon Fallunterscheidungen durchführen (siehe hier).

Es ist ja aber auch gar nicht nötig, das Argument zu berechnen. Es genügt zu wissen, daß es für jede komplexe Zahl eine Polardarkoordinatendarstellung gibt. Rechne gleich damit. Die kartesische Darstellung brauchst du nicht (80 % deines Beitrags sind damit überflüssig, hinten geht es los).

Und dann sage ich nur: reelle Additionstheoreme!

28.08.2011, 00:58

Dopap

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so seh ich das auch.
Schön,dass du schon so gut mit den Formeln "spielen" kannst. Mit 15 nicht alltäglich.
kann mich aber erinnern, auch in der Jugend gespielt zu haben...
weiter so!

Nun, wenn du die Summe im Sinus und auch im Cosinus nach den Additionstheoremen
entwickelst, und für die Winkel noch den arctan einsetzen willst, und die Beträge noch durch die Wurzeln ersetzt,
gibt es eine riesige Formel die nur die Ausgangsdaten enthält.
( mal abgesehen von den Fallunterscheidungen )
Ob man das in LATEX schreiben könnte Wink

28.08.2011, 08:13

ThomasFF

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Das man hier ewig rumrechnen kann ist ja schön und gut, aber
warum machst du nicht einfach

$\begin{eqnarray*} x = r_x e^{i \phi_x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = r_y e^{i \phi_y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x y = r_x r_y e^{i (\phi_x + \phi_y)} \end{eqnarray*}$

Es sei dir gesagt, dass Mathematik keineswegs Formeln-rumschieben ist.
Oft baut man ganze Theorien auf um eben nicht rechnen zu müssen.

28.08.2011, 12:08

Pascal95

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Hallo,

vielen Dank für eure Antworten.

Wenn ich mit $\begin{eqnarray*} r\operatorname e^{\operatorname i \varphi} \end{eqnarray*}$ arbeite, kann ich ja folgendes machen:

$\begin{eqnarray*} A=r_A\cdot\operatorname e^{\operatorname i \varphi_A} \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} B=r_B\cdot\operatorname e^{\operatorname i \varphi_B} \end{eqnarray*}$

Dann wäre nach dem zu beweisendem Satz:
$\begin{eqnarray*} A\cdot B &=& r_A\cdot r_B\cdot\operatorname e^{\operatorname i \left(\varphi_A+\varphi_B\right)} \end{eqnarray*}$
(Addition der Winkel, Multiplikation der Beträge)

"Einfach" multipliziert ergibt:
$\begin{eqnarray*} A\cdot B &=& \left(r_A\cdot\operatorname e^{\operatorname i \varphi_A} \right)\cdot\left( r_B\cdot\operatorname e^{\operatorname i \varphi_B}\right) \end{eqnarray*}$

Es muss gezeigt werden:
$\begin{eqnarray*} r_A\cdot r_B\cdot\operatorname e^{\operatorname i \left(\varphi_A+\varphi_B\right)}&=& \left(r_A\cdot\operatorname e^{\operatorname i \varphi_A} \right)\cdot\left( r_B\cdot\operatorname e^{\operatorname i \varphi_B}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_A\cdot\operatorname e^{\operatorname i \varphi_A} \cdot r_B\cdot\operatorname e^{\operatorname i \varphi_B} &=& r_A\cdot r_B \cdot\operatorname e^{\operatorname i \varphi_A} \cdot\operatorname e^{\operatorname i \varphi_B} &=& r_A\cdot r_B \cdot\operatorname e^{\operatorname i \varphi_A\ +\ \operatorname i \varphi_B} &=& r_A\cdot r_B \cdot\operatorname e^{\operatorname i \left(\varphi_A+\varphi_B\right)} \end{eqnarray*}$
(Additionstheorem der exp-Funktion ausgenutzt)

Damit ist der Satz bewiesen.

Allerdings hat man ja nicht $\begin{eqnarray*} r\operatorname e^{\operatorname i \varphi}= r\cdot (\cos (\varphi)+\operatorname i \sin (\varphi)) \end{eqnarray*}$ genutzt, man hat ja nicht mit $\begin{eqnarray*} r\cdot (\cos (\varphi)+\operatorname i \sin (\varphi)) \end{eqnarray*}$ gearbeitet...

Ist es damit schon gezeigt, oder muss ich
$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{c} \ensuremath{ r_A\cdot (\cos (\varphi_A)+\operatorname i \sin (\varphi_A)) \cdot r_B\cdot (\cos (\varphi_B)+\operatorname i \sin (\varphi_B))} \\ \ensuremath = \\ \ensuremath {r_A\cdot r_B\cdot (\cos (\varphi_A+\varphi_B)+\operatorname i \sin (\varphi_A+\varphi_B))} \end{tabular} \end{eqnarray*}$
wirklich noch beweisen ?

28.08.2011, 13:43

Huggy

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Zitat:

Original von Pascal95
Allerdings hat man ja nicht $\begin{eqnarray*} r\operatorname e^{\operatorname i \varphi}= r\cdot (\cos (\varphi)+\operatorname i \sin (\varphi)) \end{eqnarray*}$ genutzt, man hat ja nicht mit $\begin{eqnarray*} r\cdot (\cos (\varphi)+\operatorname i \sin (\varphi)) \end{eqnarray*}$ gearbeitet...

Ist es damit schon gezeigt, oder muss ich
$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{c} \ensuremath{ r_A\cdot (\cos (\varphi_A)+\operatorname i \sin (\varphi_A)) \cdot r_B\cdot (\cos (\varphi_B)+\operatorname i \sin (\varphi_B))} \\ \ensuremath = \\ \ensuremath {r_A\cdot r_B\cdot (\cos (\varphi_A+\varphi_B)+\operatorname i \sin (\varphi_A+\varphi_B))} \end{tabular} \end{eqnarray*}$
wirklich noch beweisen ?

Du hast den Schwachpunkt der Argumentation über die komplexe Exponentialfunktion erkannt. Sie setzt voraus, dass

(1) die komplexe Exponentialfunktion schon definiert wurde. Der zu beweisende Sachverhalt ist aber völlig unabhängig von dieser Definition.

(2) schon bewiesen wurde, dass für die komplexe Exponentialfunktion dieselben Rechenregeln gelten, wie für die reelle Exponentialfunktion.

(3) die Eulersche Formel $\begin{eqnarray*} e^{i \varphi} =\cos \phi +i \sin \varphi \end{eqnarray*}$ schon bewiesen wurde. Erst sie stellt ja sicher, dass das verwendete Symbol $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ mit dem Winkel in Polarkoordinaten übereinstimmt.

Man würde also einen beachtlichen Teil Funktionentheorie für den Beweis benutzen, der tatsächlich gar nicht benötigt wird.

Tatsächlich brauchst du nur (siehe Beitrag von Leopold), dass sich eine komplexe Zahl in kartesischen Koordinaten (x, y) $\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ mittels Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} (r, \varphi) \end{eqnarray*}$ schreiben lässt als $\begin{eqnarray*} z=r(\cos \varphi +i \sin \varphi) \end{eqnarray*}$ . Das ist ein rein geometrischer Sachverhalt, der mit der komplexen Exponentialfunktion erst mal nichts zu tun hat.

Du musst also deine obige letzte Formel beweisen. Und das geht (noch mal siehe Leopold) über die Additionstheoreme des reellen Sinus und Kosinus.

28.08.2011, 14:19

Pascal95

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Hallo,

vielen Dank für deine Antwort, Huggy.

Mit Hilfe der Additionstheoreme von Sinus und Kosinus bin ich nun soweit gekommen:

[attach]20971[/attach]

Ich werde es möglichst bald in Latex schreiben.

28.08.2011, 14:26

Huggy

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Das sieht auch ohne Latex richtig aus. Freude

Lediglich der Ausdruck formale Multiplikation gefällt mir nicht. Du multiplizierst doch exakt so, wie die komplexe Multiplikation definiert ist.

28.08.2011, 16:57

Pascal95

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Hallo,

jetzt habe ich mir auch klar gemacht, wie man $\begin{eqnarray*} z\ =\ r\cdot(\cos \varphi +\operatorname i \sin \varphi) \end{eqnarray*}$ geometrisch deuten kann:

[attach]20975[/attach]

Dabei ist $\begin{eqnarray*} a&=&\cos \varphi\\ b&=& \sin \varphi \end{eqnarray*}$ .
(cos = AK/Hyp)
(sin = GK/Hyp)
(mit Hypothenusenlänge r=1)
Man kann so alle komplexen Zahlen im Einheitskreis darstellen.
Hier ist also $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ .

Entsprechend kann man mit dem Betrag multiplizieren, um alle anderen komplexen Zahlen darzustellen.

Man kann also sagen:
$\begin{eqnarray*} z\ =\ r\cdot(\cos \varphi +\operatorname i \sin \varphi) \end{eqnarray*}$ ist die komplexe Zahl mit dem Argument $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und dem Betrag $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

Edit:
Wenn ich die Achsen beschriftet hätte, wäre es auch ersichtlich geworden:
$\begin{eqnarray*} \cos \varphi &=& \operatorname{Re}(z)~ =~ a \sin \varphi &=& \operatorname{Im}(z)~ =~ b \end{eqnarray*}$

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