Körpererweiterung normal? galoisgruppen bestimmen

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27.08.2011, 23:02	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Körpererweiterung normal? galoisgruppen bestimmen Hallo, ich würde gern folgende Aufgabe lösen, wäre nett, wenn das jemand mit mir zusammen machen könnte =) Also man soll sagen ob folgende Körpererweiterungen normal sind und dann die zugehörigen Galoisgruppen explizit angeben: a) $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\zeta)/\mathbb Q \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ 3. Einheitswurzel b) $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt[3]{4})/\mathbb Q \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt 2+\sqrt 3)/\mathbb Q \end{eqnarray}$ Also eine Körpererweiterung $\begin{eqnarray} L/K \end{eqnarray}$ ist algebraisch, wenn jedes Element aus $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ Nullstelle eines normierten Polynoms aus $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ ist. Und diese algebraische Körpererweiterung ist normal, wenn alle irreduziblen Polynome aus $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ , die eine Nullstelle in $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ haben, in $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ follständig in Linearfaktoren zerfällt, oder? Wäre das dann im ersten Fall, dass das einzige Element, das die beiden Körper unterscheidet, $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ ist, und dieses ist Nullstelle von $\begin{eqnarray} x^3-1\in\mathbb Q[X] \end{eqnarray}$ , deswegen ist die Körpererweiterung algebraisch, stimmt das? Und dieses Polynom dürfte dann ja auch das einzige sein, dass man sich für "normal" betrachten muss, oder? Also $\begin{eqnarray} x^3-1 \end{eqnarray}$ hat ja in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ nur die 1 als Nullstelle und zerfällt nicht in Linearfaktoren, aber in $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\zeta) \end{eqnarray}$ ja schon, da mit $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ auch die Potenzen und damit alle 3. Einheitswurzeln in diesem Körper enthalten sind. Richtig??? Zur Galoisgruppe: Der Grad der Körpererweiterung ist doch 3, deswegen sollte es auch 3 Automorphismen geben, die Identität und folgende: $\begin{eqnarray} \sigma_2(\zeta)=\zeta^2, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \;\sigma_2(\zeta^2)=\zeta,\;\sigma_2(\zeta^3)=\zeta^3 \end{eqnarray}$ aber ich glaube, dass das irgendwie nicht stimmt. Weil mein $\begin{eqnarray} \sigma_3 \end{eqnarray}$ irgendwie alles auf $\begin{eqnarray} \zeta^3 \end{eqnarray}$ abbildet. Also könnte mir jemand sagen, was ich richtig und falsch gemacht habe und wie es weiter geht? LG Hamsterchen
28.08.2011, 10:28	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Algebraisch sind alle drei Erweiterungen, das ist nicht schwer einzusehen. Du hast Recht, um zu prüfen, ob eine Erweiterung normal ist, reicht es zu prüfen, ob die Minimalpolynome der Erzeuger in Linearfaktoren zerfallen. Hier ist $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ wieder eine Galoiserweiterung, wie in galoisgruppe primitive achte einheitswurzel . Zwar ist $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ hier Nullstelle von $\begin{eqnarray} X^3-1 \end{eqnarray}$ , aber dieses Polynom ist nicht irreduzibel - über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ spaltet ja schon eine Nullstelle ab. Das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} X^2+X+1 \end{eqnarray}$ . Die Erweiterung hat folglich auch nur Grad 2. In der Tat ist das immer so. Ist $\begin{eqnarray} \zeta_n \end{eqnarray}$ eine primitive n-te Einheitswurzel, so ist $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ Galoiserweiterung vom Grad $\begin{eqnarray} \varphi (n) \end{eqnarray}$ (Eulersche Phi-Funktion) und es ist $\begin{eqnarray} {\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}) \cong ( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^ \end{eqnarray*}$ .
28.08.2011, 13:44	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Jester, stimmt, ich habe vergessen dass das Minimalpolynom ja dann das 3. kreisteilungspolynom ist und das hat Grad 2, also gibt es dann nur einen Automorphismus in der Galoisgruppe? (und die identität). Kannst du mir nochmal erklären, wie ich hier auf den Automorphismus komme? LG Hamsterchen
28.08.2011, 13:48	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Automorphismus muss die beiden Nullstellen des Polynoms $\begin{eqnarray} X^2+X+1 \end{eqnarray}$ permutieren. Wenn die eine etwa $\begin{eqnarray} \zeta_3 \end{eqnarray}$ heißt, so ist $\begin{eqnarray} \zeta_3^2 \end{eqnarray}$ die zweite - die primitiven dritten Einheitswurzeln sind ja gerade die Nullstellen des Kreisteilungspolynoms. $\begin{eqnarray} \zeta_3 \end{eqnarray}$ ist ja eine primitive dritte Einheitswurzel, d.h. jede Potenz $\begin{eqnarray} \zeta_3^k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} {\rm ggT}(3,k)=1 \end{eqnarray}$ ist ebenfalls eine primitive dritte Einheitswurzel - dies gilt mal wieder für jedes $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , sodass man die Aussage $\begin{eqnarray} {\rm Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q})\cong ( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^ \end{eqnarray*}$ erhält.
28.08.2011, 14:03	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke nochmal für deine Antwort. Ist dann der einzige Automorphismus, der, der die beiden primitiven EW vertauscht? Sonst gibts ja dann eigentlich nix. Ja und Id natürlich, also 2 Stück. Bei der nächsten hab ich mal versucht, anzufangen. Also das Minimalpolynom müsste ja $\begin{eqnarray} X^3-4 \end{eqnarray}$ sein. Also ist der Grad 3. Die Erweiterung ist damit algebraisch. Aber sie ist nicht normal, weil die anderen beiden Nullstellen komplex sind und damit nicht in der Erweiterung enthalten sind, also kann es ja nicht in Linearfaktoren zerfallen, oder? Jetzt brauche ich hier 2 Automorphismen, die die 3 Nullstellen permuttieren. Aber die beiden komplexen Nullstellen sind ja komplex konjugert zueinander, also müsste man diese vertauschen. Aber dann wäre es ja nur ein Automorphismus? Ach keine Ahnung. Was muss ich hier noch beachten? Oder ist das Minimalpolynom falsch??? Wüsste aber kein anderes...
28.08.2011, 14:11	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, die zweite Erweiterung ist nicht normal. Aber dann gibt es auch keine Galoisgruppe, weil es ja gar keine Galoiserweiterung ist (eine Erweiterung ist genau dann galoissch, wenn sie normal und separabel ist).
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28.08.2011, 14:15	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm auf dem blatt steht, dass wir für alle 3 erweiterungen die galoisgruppe angeben sollen. ich wusste nicht, dass es, wenn die erweiterung nicht galoissch ist, auch keine galois-gruppe gibt. bei der 3. bin ich gerade am verzweifeln mit dem minimalpolynom. das + stört ^^
28.08.2011, 14:21	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn ich mich nicht verrechnet habe: könnte es $\begin{eqnarray} X^4-10X^2+3 \end{eqnarray}$ sein????
28.08.2011, 14:28	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
In Wikipedia findet der Begriff der Galoisgruppe auch für nicht-galoissche Erweiterungen Erwähnung, es handelt sich in dem Fall um $\begin{eqnarray} {\rm Aut}_K(L) \end{eqnarray}$ , die Gruppe derjenigen Automorphismen von $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ festlassen. Das richtige Minimalpolynom für die dritte Erweiterung ist $\begin{eqnarray} X^4-10X^2+1 \end{eqnarray}$
28.08.2011, 14:38	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke für das richtige minimalpolynom ^^ war wohl doch ein kleiner rechenfehler drin. so jetzt nochmal rechnen (nicht meine stärke ^^) Nullstellen von $\begin{eqnarray} z^2-10z+1 \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} z_{1,2}=5\pm\frac{4\sqrt 6}2 \end{eqnarray}$ und damit gilt $\begin{eqnarray} x^4-10x^2+1=\left(x^2-\frac{10-4\sqrt 6}2\right)\left(x^2-\frac{10+4\sqrt 6}2\right) \end{eqnarray}$ oder??? bringt das was???
28.08.2011, 14:46	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispielhaft: $\begin{eqnarray} \frac{10+4\sqrt{6}}{2}=5+2\sqrt{6}=3+2\sqrt{6}+2=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 \end{eqnarray}$ Durch diese und analoge Rechnungen erhält man, dass das Minimalpolynom alle vier Kombinationen $\begin{eqnarray} \pm\sqrt{2}\pm\sqrt{3} \end{eqnarray}$ als Nullstellen hat.
28.08.2011, 14:56	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, da muss man aber erstmal drauf kommen. Naja auf jeden Fall zerfällt es dann in Linearfaktoren und ist damit normal. Also bestimmen wir jetzt noch die Galoisgruppe. Die muss 4 Elemente enthalten, also brauchen wir noch 3 Automorphismen, ja? $\begin{eqnarray} \sigma_1:\quad \sqrt 2+\sqrt 3\to-\sqrt 2-\sqrt 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma_2:\quad \sqrt 2-\sqrt 3\to\sqrt 2+\sqrt 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma_3:\quad \sqrt 2+\sqrt 3\to-\sqrt 2+\sqrt 3 \end{eqnarray}$ stimmt das???
28.08.2011, 15:18	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist zuvor sicherlich sinnvoll, zu prüfen, ob die dritte Erweiterung normal ist. Falls sie es ist, gibt es natürlich genau 4 Galoisautomorhismen. Jedoch gibt es von Ordnung 4 2 verschiedene Gruppen, man muss also aufpassen, wie die Automorphismen aussehen können. Leider muss ich das auf heute Abend vertagen, ich hoffe du kannst so lange warten.
28.08.2011, 16:19	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
also die erweiterung ist doch normal, weil wenn man die nullstellen so umformt wie du es getan hast, dann sieht man ja, dass alle 4 in der erweiterung liegen. damit ist sie doch normal oder irre ich mich jetzt??? und ich sehe keine andere möglichkeit für die automorphismen. und die haben alle ordnung 2, damit sollte sie doch isomorph zu Z/2ZxZ/2Z sein, oder? dann bis heute abend =)
28.08.2011, 17:40	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Die andere Umformung ist $\begin{eqnarray} \frac{10-4\sqrt{6}}{2}=5-2\sqrt{6}=3-2\sqrt{6}+2 = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 \end{eqnarray}$ . Vielleicht habe ich jetzt Tomaten auf den Augen, aber ich sehe nicht, warum daraus folgen sollte, dass die Nullstelle schon in $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \end{eqnarray}$ liegt, also als Linearkombination von Potenzen dieses Erzeugers geschrieben werden kann. Ich habe jedoch folgendes (durch Ansehen der Potenzen) gefunden: $\begin{eqnarray} \sqrt{2}-\sqrt{3}= a^3-10a \end{eqnarray}$ wenn ich $\begin{eqnarray} a:=\sqrt{2}+\sqrt{3} \end{eqnarray}$ setze. Also ist die Erweiterung normal. Folglich hat die Galoisgruppe Ordnung 4. Deine drei Automorphismen sind auch richtig, wobei der zweite etwas seltsam angegeben ist. Ich würde einfach das Bild des Erzeugers angeben, also $\begin{eqnarray} \sqrt{2}+\sqrt{3}\mapsto \sqrt{2}-\sqrt{3} \end{eqnarray}$ und nicht umgekehrt, aber das ist nur eine Feinheit. In der Tat ist damit die Galoisgruppe isomorph zu $\begin{eqnarray} C_2\times C_2 \end{eqnarray}$ . Es drängt sich der Verdacht auf, dass diese Körpererweiterung isomorph ist zu $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) \end{eqnarray}$ - bei Langeweile kann man das verifizieren.
28.08.2011, 17:45	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich schaue mir dann das mit den nullstellenumformungen nochmal an. aber ich denke (hoffe), dass in der klausur sachen drankommen, wo man das leichter sehen kann. lg und danke für deine hilfe hamsterchen

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