[Artikel] Der Zassenhaus-Algorithmus für Summe und Schnitt von Vektorräumen

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[Artikel] Der Zassenhaus-Algorithmus für Summe und Schnitt von Vektorräumen
Dieser Artikel soll den Algorithmus von Hans Zassenhaus zum Bestimmen von Basen des Durchschnitts und der Summe zweier Unterräume eines Vektorraums zum Thema haben.

Sei ein Körper und ein -Vektorraum endlicher Dimension, hier ohne Einschränkung . Seien zudem zwei Teilräume durch Erzeugendensysteme gegeben.

Der Algorithmus

Man definiere die Matrix als - d.h. man notiere die Erzeuger als Zeilenvektoren, wobei man die Erzeuger des ersten Raums zweifach nebeneinander schreibe und die Erzeuger des zweiten Raums einfach notiere und nach rechts mit Nullzeilen auffülle.
Man führe dann Zeilenumformungen auf dieser Matrix aus, bis sie in der folgenden Form ist: mit und . Die Blöcke, die die und enthalten, müssen außerdem in strikter Zeilenstufenform sein.
Ist die Matrix in diese Form überführt, so ist eine Basis von und ist eine Basis von .

Beweis

Dass aus durch Überführen auf Zeilenstufenform eine Basis von entsteht, erhalten wir aus dem gewöhnlichen Gauß-Algorithmus.
Es sei nun der Zeilenraum der Matrix , welcher ein Unterraum von ist. Sei die Einschränkung der Projektionsabbildung auf .
Behauptung: . Dazu:

, d.h. .

Ein Beispiel

Sei und ,

Dies liefert uns die Matrix , die wir wie folgt umformen:


Also ist eine Basis von und eine Basis von .
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