Primzahlen

28.08.2011, 19:40

Kelr

Primzahlen

Hallo

Ich hätte da eine Frage bezüglich einer Hausaufgabe:
30*(w^2) - 283*w + 324 = x ist unsere Gleichung. Die Aufgabe ist nun, zu beweisen, dass dort nie ein Quadrat herauskommen kann, wenn man für w eine Primzahl einsetzt, die größer als 40 ist!
Nur ich habe überhaupt keine Ahnung, wie ich rangehen soll; fällt jemandem spontan etwas ein?

Danke! smile

28.08.2011, 19:52

kampfanzug

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Hinweis:
$\begin{eqnarray*} 30w^2-283w+324 = (3w-4)(10w-81) \end{eqnarray*}$

28.08.2011, 20:00

Kelr

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ah vielen Dank Augenzwinkern

Mal schauen, ob ich es nun herausfinde...*tüftel*

LG

28.08.2011, 20:53

Kelr

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So, da ich irgendwie auf keine Lösung komme, eine Frage Augenzwinkern

War der Hinweis von Dir einfach so spontan, mit dem Hintergedanken, dass er vielleicht helfen könnte, oder hast Du schon die Lösung und Dein Hinweis ist ein Stoß in den richtigen Lösungsansatz? smile

28.08.2011, 21:10

René Gruber

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Offenbar weißt du den Wert einer solchen Faktorisierung für die vorliegende Frage gar nicht zu schätzen, sonst hättest du dir diese zweifelnde Bemerkung gespart. unglücklich

Das Produkt $\begin{eqnarray*} (3w-4)(10w-81) \end{eqnarray*}$ ist dann und nur dann eine Quadratzahl, wenn jede in dem einen Faktor vorkommende Primfaktorpotenz mit ungeradem Exponenten auch mit ungeradem Exponenten in der Primfaktorzerlegung des anderen Faktor auftaucht.

Dies zusammen mit der sich per Euklidischem Algorithmus ergebenden Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(3w-4,10w-81) \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} 203=7\cdot 29 \end{eqnarray*}$ ist, gibt erstmal genug Stoff für weitere Betrachtungen.

28.08.2011, 21:49

Kelr

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Ok, d.h., dass insgesamt mindestens ein Primfaktor einen ungeraden Exponenten hat, wenn ich eine Primzahl einsetze, richtig?
Nur wie hast du das mit dem größten gemeinsamen Teiler herausgefunden? verwirrt

Von dem euklidischen Algorithmus hab ich noch nichts gehört (hab es aber mittlerweile nachgelesen); wie ich diesen auf ganze Zahlen anwende, weiß ich nun, aber wie funktioniert das genau, wenn eine Variable drinnen steckt?
Gibt es denn nicht noch größere Teiler, wenn w groß genug ist?

28.08.2011, 22:15

René Gruber

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Zitat:

Original von Kelr
Gibt es denn nicht noch größere Teiler, wenn w groß genug ist?

Jeder gemeinsame Teiler $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 3w-4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 10w-81 \end{eqnarray*}$ muss auch ein Teiler von

$\begin{eqnarray*} 10(3w-4)-3(10w-81) = 30w-40-(30w-243) = 203 \end{eqnarray*}$

sein...

28.08.2011, 22:17

Kelr

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Ahhh, ok, danke hierfür schonmal Augenzwinkern

Dann versuch ich mich mal weiter dran Augenzwinkern

28.08.2011, 23:07

Kelr

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ok, irgendwie springt bei mir der Funke nicht rüber traurig

Also was mir so einfällt, ist:
Wenn z.B. beide Faktoren die 29 als gemeinsamen Teiler haben, müssen beide Faktoren das Produkt von 29 (ist ja eine Primzahl) und einem anderen oder mehreren anderen Primfaktoren sein. Wenn man also beide Faktoren durch 29 teilt (bzw. den ganzen Term durch 841), bleiben bei jedem Faktor noch Primfaktoren über, deren Produkt logischerweise nicht dem anderen Produkt des anderen Faktors gleichen würde.
Sprich da würden dann unterschiedliche Primfaktoren stehen, so dass bei mindestens einem ein ungerade Exponent ist. Die einzige Lösung wäre, wenn beim Produkt der restlichen Primfaktoren eines Faktors des Terms (man schaut sich also z.B. nur das Produkt den Primfaktoren von 3w-4) ein Quadrat ergeben würde. Wenn w aber eine Primzahl ist, kann man anscheinend sagen, dass das auf alle Fälle nicht passieren wird (zumindest nicht bei beiden Faktoren).
Die Primzahl unterscheidet sich von den anderen Zahlen dadurch, dass sie nur einen Primfaktor hat, nämlich sich selbst. Ich begreife anscheinend nur nicht, wie ich das hier angemessen berücksichtige Augenzwinkern

29.08.2011, 13:34

René Gruber

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Die Lösung deiner Problemstellung besitzt auffällige Parallelen zu

Zahlentheoretische Aufgabe .

Nach den Erfahrungen der letzten Zeit mach ich da jetzt hier bis zum Einsendeschluss des BWM lieber nicht mehr weiter.

29.08.2011, 13:40

tigerbine

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Auf Verdacht geschlossen. Wenn zu unrecht, pn an mich oder einen Mod der online ist.

02.09.2011, 02:20

tigerbine

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wieder offen.

02.09.2011, 09:12

René Gruber

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Nachdem ich aus Vorsicht (oder Paranoia, wer weiß) mehr oder weniger direkt die zeitweilige Schließung hier veranlasst habe, will ich nach Wiederöffnung unverzüglich fortfahren. Zunächst wiederhole ich mich nochmal selbst:

Zitat:

Original von René Gruber
Das Produkt $\begin{eqnarray*} (3w-4)(10w-81) \end{eqnarray*}$ ist dann und nur dann eine Quadratzahl, wenn jede in dem einen Faktor vorkommende Primfaktorpotenz mit ungeradem Exponenten auch mit ungeradem Exponenten in der Primfaktorzerlegung des anderen Faktor auftaucht.

Dies zusammen mit der sich per Euklidischem Algorithmus ergebenden Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(3w-4,10w-81) \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} 203=7\cdot 29 \end{eqnarray*}$ ist, gibt erstmal genug Stoff für weitere Betrachtungen.

Konkret bedeutet dies nämlich, dass $\begin{eqnarray*} (3w-4)(10w-81) \end{eqnarray*}$ dann und nur dann eine Quadratzahl sein kann, wenn es teilerfremde positive Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ mit

1) $\begin{eqnarray*} 3w-4 = a^2,\quad 10w-81 = b^2 \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} 3w-4 = 7a^2,\quad 10w-81 = 7b^2 \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} 3w-4 = 29a^2,\quad 10w-81 = 29b^2 \end{eqnarray*}$

oder

4) $\begin{eqnarray*} 3w-4 = 203a^2,\quad 10w-81 = 203b^2 \end{eqnarray*}$

gibt.

Die Fälle 1),2) kann man mit modulo 3, den Fall 4) mit modulo 5 sofort ausschließen, d.h. dort gibt es nicht nur keine Primzahlen, sondern überhaupt keine ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ , die diese Gleichungssysteme lösen.

Fall 3) ist kniffliger, und der ist es auch, der an die BWM-Lösung erinnert: Es ist dort

$\begin{eqnarray*} 203w = 81(3w-4)-4(10w-81) = 29(81a^2-4b^2) \quad \Longrightarrow\quad 7w = (9a-2b)(9a+2b) \end{eqnarray*}$ .

Den Rest kriegst du jetzt sicher selbst raus, wenn du berücksichtigst, dass $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ja als Primzahl >40 vorausgesetzt ist (eigentlich hätte >11 gereicht).

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