Binomialkoeffizient

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Kafka Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialkoeffizient
Hallo,

ich soll durch vollständige Induktion zeigen, dass:

bekannt ist:

Induktionsanfang würde ich n=i=0 nehmen:

ist es soweit richtig? darf ich n und i gleichzeitig = 0 setzen?

Grüße

K.

P.S. Wie kann man mit latex das N für natürliche Zahlen schreiben? \setN geht schon mal nicht...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Lasse lieber beliebig, aber fest und führe dann eine Induktion nach durch.

Gruß MSS

PS: Versuchs mal mit "\mathbb N".
Kafka Auf diesen Beitrag antworten »

dann hätte ich:

je nach dem wie groß i ist kommt man auf entweder 1 = 1 oder 0 = 0?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bis auf steht immer da.

Gruß MSS
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binomialkoeffizient
Also in meinem Weltbild ist für i > k nicht definiert. Von daher würde ich diese Schreibweise bevorzugen:



Für festes i macht man dann den Induktionsanfang mit n=i.
ArminTempsarian Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binomialkoeffizient
@ klarsoweit

Also bei mir ist der schon definiert für i > k. Nämlich als 0. Bestimmte Beweise würden ohne diese Tatsache auch gar nicht funktionieren (z.B. Binomischer Lehrsatz), oder täusche ich mich da?
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Also das allgemein anerkannte Weltbild ist

,

und zwar für beliebige reelle (oder wenn man will auch komplexe) und nichnegative ganze Zahlen . Für i=0 hat man ein "leeres" Produkt, und das ist hier - wie meistens bei leeren Produkten - als definiert. Also steht bei i=0 nicht , sondern da. Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binomialkoeffizient
Zitat:
Original von ArminTempsarian
Also bei mir ist der schon definiert für i > k. Nämlich als 0. Bestimmte Beweise würden ohne diese Tatsache auch gar nicht funktionieren (z.B. Binomischer Lehrsatz), oder täusche ich mich da?

Leider hat sich in der Mathematik eine gewisse Schludrigkeit eingeschlichen. Da wird etwas definiert, z.B. wobei die Fakultät wiederum erstmal für nicht-negative ganze Zahlen definiert ist, und irgendwann wird die Definition erweitert. Korrekterweise müßte man dann auch eine andere Schreibweise verwenden, um zu kennzeichnen, welche Definition man denn nun eigentlich meint. Bei Funktionen macht man diese Unterscheidung schließlich auch. Funktionen mit der gleichen Funktionsvorschrift, aber unterschiedlichen Definitionsmengen, sind eben verschieden.

Was den binomischen Lehrsatz angeht, kann man den Beweis ohne Probleme unter Einhaltung obiger Definition durchführen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe das anders (d.h. das mit der notwendigen anderen Schreibweise): Kann ja sein, dass der Binomialkoeffizient ursprünglich



definiert wurde. Dann hat sich aber herausgestellt, dass die Definition



wegen des größeren Definitionsbereiches für ganz sinnvoll (weil allgemeiner) ist, zumal sie (1) als Spezialfall beinhaltet. Und in diesem Licht ist dann eben (1) nicht mehr die Definition, sondern eine Darstellungsvariante des Binomialkoeffizienten, die nur für ganze Zahlen gültig ist.


P.S.: Im übrigen wird das allgemeinere (2) benötigt, wenn man die binomische Reihe

mit

für beliebige reelle betrachten will. Augenzwinkern


EDIT: Schreibfehler korrigiert - (n-j) statt (n-k) im Produkt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binomialkoeffizient
Zitat:
Original von klarsoweit
Leider hat sich in der Mathematik eine gewisse Schludrigkeit eingeschlichen.


Die Mathematik ist von allen Wissenschaften vielleicht die exakteste. Aber auch sie ist natürlich nicht immer konsequent. Letztlich handelt es sich auch bei der Mathematik um eine Sprache. Und die ist nun einmal von Menschen gemacht - und hat ihre größeren oder kleineren Schlampereien. Die sind manchmal historisch bedingt, manchmal einfach nur zweckmäßig, weil die exakte Formulierung viel zu schwerfällig wäre und sowieso jeder weiß, wie es gemeint ist.

Nimm doch nur einmal die elementare Dreiecksgeometrie (Dreieckskonstruktionen). Jeder ausgebildete Mathematiker kennt den Unterschied zwischen der Strecke (oder ? oder ? oder ... ?) und der Länge der Strecke . Trotzdem fließen die Bezeichnungen in der Praxis ineinander: "Zeichne die Strecke ." Das ist unter strengen Maßstäben Quatsch. Aber jeder weiß im zugehörigen Kontext, wie er das lesen muß. Es ist eben viel bequemer als "zeichne die Strecke von der Länge ".

Wenn man dagegen auf einer höheren Stufe axiomatische Vektorrechnung macht und die Dreiecksgeometrie darin eingebettet wird, dann wird man Strecke und Länge einer Strecke unterscheiden. Einfach nur, weil es hier auf diese Unterscheidung ankommt.

Die von dir angesprochene Schludrigkeit betrifft allerdings nicht die Binomialkoeffizienten. Hier wird einfach nur eine ursprüngliche Definition erweitert. Inhaltlich hat Arthur schon alles dazu gesagt.

Hat es dich schon einmal gestört, wenn in Analysis I auf welche Art auch immer eine Funktion



eingeführt wird und später dann in der Funktionentheorie eine Funktion



und die Mathematiker ungerührt bei beiden Funktion schreiben statt wie ich beckmesserisch für die eine und für die andere Funktion?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binomialkoeffizient
Zitat:
Original von Leopold
... und sowieso jeder weiß, wie es gemeint ist.

Und genau da sehe ich das Problem in einem Forum wie diesem. Es ist unter Umständen nämlich nicht klar, was gemeint ist, und man muß erstmal nachfragen, welche Definition zu verwenden ist. Denn möglicherweise ergeben sich daraus irgendwelche Randbedingungen oder Anforderungen an das Beweisverfahren.

Aber langsam wird es Off-Topic und vielleicht habe ich heute auch einen schlechten Tag. verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binomialkoeffizient
Zitat:
Original von klarsoweit
Es ist unter Umständen nämlich nicht klar, was gemeint ist, und man muß erstmal nachfragen, welche Definition zu verwenden ist.


Das scheint mir ein anderes Problem zu sein. Gelegentlich würde ich mir auch wünschen, daß die Antworter (ich nehme mich da nicht aus) erst fragen, welche Vorkenntnisse der Fragesteller hat, bevor sie die Antwort geben. Es sind vor allem so Fragen wie

"Ich soll zeigen, daß jede kompakte Menge abgeschlossen ist. Wie mache ich das?"

Wenn über den User nicht mehr bekannt ist als diese Frage, sollte man diese niemals beantworten, ohne nach dem Kontext der Vorlesung zu fragen. Denn die Beantwortung dieser Frage reicht je nach Aufbau der Vorlesung von trivial bis tiefliegend.

Viele, die antworten, sind noch "relativ neu im Geschäft", haben selbst gerade einmal das erste oder zweite Semester Universität hinter sich und beantworten die Frage so, wie es der Vorlesung, die sie selbst erlebt und erlitten haben, entspricht. Das paßt unter Umständen aber gar nicht zum Aufbau der Vorlesung, die der Fragesteller hört.

Man kann der Sache natürlich auch eine positive Seite abgewinnen. Wenn so ein Thread dann ins Chaos mündet, haben Fragesteller wie Antworter vielleicht zumindest gelernt, auf wieviel verschiedene Arten man mathematische Theorien aufziehen kann. Das ist ja auch etwas wert ...
Kafka Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

und jetzt mal wieder zurück zum thema. induktionsschritt würde dann eben so aussehen:
nun, wie fange ich hier an? ich habe da noch meine Probleme mit binomialkoeffizienten... Augenzwinkern
n! Auf diesen Beitrag antworten »

Zerlege jetzt die Summe, d.h spalte den n+1-ten Summanden ab, sodass deine Summe nur bis n läuft. Dann kannst du die Induktionsvoraussetzung anwenden
Kafka Auf diesen Beitrag antworten »

dann würd ich auf und jetzt? für die summe die voraussetzung einzusetzene wäre falsch? Augenzwinkern
n! Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt kannst du die Voraussetzung ins Spiel bringen. Dann hast du da zwei Summanden, die du durch Umformen auf das gewünschte bringen kannst
Kafka Auf diesen Beitrag antworten »

dann komme ich aber auf so was:
was mache ich falsch?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binomialkoeffizient
Gar nichts. Offensichtlich hast du das Prinzip der vollständigen Induktion noch nicht ganz verstanden. Zu zeigen ist doch die Gültigkeit der folgenden Aussage A(n):



Beim Induktionsschritt nimmst du an, daß A(n) wahr ist und zeigst dann die Gültigkeit der Aussage A(n+1):



Und genau das hast du doch da stehen. Augenzwinkern
Kafka Auf diesen Beitrag antworten »

ahhhhh, jetzt hats *click* gemacht smile vielen Dank.
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