Rieszscher Darstellungssatz

29.08.2011, 17:49	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Rieszscher Darstellungssatz Meine Frage: Hallo, Sei $\begin{eqnarray} dim(V) < \infty \end{eqnarray}$ , dann gibts laut dem genannten Darstellungssatz ja für jedes lineare Funktional $\begin{eqnarray} v^ \in V^* \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} v^(x) = \langle v,x \rangle \end{eqnarray}$ . So wenn ich jetzt eine Basis $\begin{eqnarray} B = \left\{ v_1,...v_n\right\} \end{eqnarray}$ des Vektorraums V habe, dann ist ja die duale Basis $\begin{eqnarray} B^ \end{eqnarray}$ des Dualraums $\begin{eqnarray} V^* \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} B^* = \left\{ v_1^,...v_n^\right\} \end{eqnarray}$ , so es gibt also auch nach dem Darstellungssatz für jedes Basiselement aus $\begin{eqnarray} B^* \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ so dass gilt: $\begin{eqnarray} v_i^(x) = \langle v,x \rangle \end{eqnarray}$ , kann nun davon ausgehen, dass dieses v aus dem Skalarprodukt gerade meinem Basiselement $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ aus meiner Basis von V entspricht??? Meine Ideen: Ich hoffe es kann mir jemand weiter helfen! Ansonsten wüsste ich gerne, wie meine Basis von V^* aussieht, ich weiß zwar, dass es alles Linearformen sind, die von V auf K abbilden, aber ich weiß ja nicht wie genau sie fungieren! Danke für die Hilfe
29.08.2011, 19:16	Keff91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rieszscher Darstellungssatz Das $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} v_i^(x) = \langle v,x \rangle \end{eqnarray}$ ist das $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ , für welches gilt: $\begin{eqnarray} \langle v,v_i \rangle = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \langle v,v_j \rangle = 0, j \ne i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v = v_i \end{eqnarray*}$ , wenn deine Basis eine ONB ist.
29.08.2011, 19:20	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal zur Basis des Dualraumes $\begin{eqnarray} V^ \end{eqnarray}$ . Es gibt natürlich nicht die* Basis, sondern ganz viele. Aber die naheliegendste Möglichkeit aus einer Basis $\begin{eqnarray} \{v_i\}_{1 \leq i \leq n} \end{eqnarray}$ von V eine Basis $\begin{eqnarray} \{v^_i\}_{1 \leq i \leq n} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V^* \end{eqnarray}$ zu machen, ist: $\begin{eqnarray} v^_i(v_j) = \delta_{ij} \end{eqnarray}$ zu definieren und dies zu einer linearen Abb. auf V fortsetzen. Dies führt also zu $\begin{eqnarray} v^_i(\sum_{k=0}^n \lambda_kv_k) = \lambda_i \end{eqnarray}$ . Zu der Frage, ob also $\begin{eqnarray} v^_i(x) = \langle v_i , x \rangle \end{eqnarray}$ gilt, lässt sich durch einsetzen von allen $\begin{eqnarray} v_j \end{eqnarray}$ 's für x erkennen: Nur, wenn $\begin{eqnarray} \{v_i\}_{1 \leq i \leq n} \end{eqnarray}$ eine ONB bzgl. des Skalarproduktes war. Und genau hier scheitern wir im Allgemeinen, denn für den Darstellungssatz von Riesz brauchen wir "nur" die Regularität des Skalarprodukts, für die Existenz einer ONB brauchen wir aber schon ein unitäres, positiv definites Skalarprodukt.
29.08.2011, 20:27	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antworten, folgendes verstehe ich allerdings noch nicht: Zitat: Aber die naheliegendste Möglichkeit aus einer Basis $\begin{eqnarray} \{v_i\}_{1 \leq i \leq n} \end{eqnarray}$ von V eine Basis $\begin{eqnarray} \{v^_i\}_{1 \leq i \leq n} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V^* \end{eqnarray}$ zu machen, ist: $\begin{eqnarray} v^_i(v_j) = \delta_{ij} \end{eqnarray}$ zu definieren und dies zu einer linearen Abb. auf V fortsetzen. Dies führt also zu $\begin{eqnarray} v^_i(\sum_{k=0}^n \lambda_kv_k) = \lambda_i \end{eqnarray}$ . Ich versteh zwar was hier steht, allerdings nicht wie mir das hilft meine Basis von $\begin{eqnarray} V^* \end{eqnarray*}$ Kann ich eine Basis des Dualraums expizit konstruieren, oder muss ich einfach hinnehmen, dass er eine hat und dass die die Eigeneschaft hat, "dass gleiche Indizes 1 und ungleich Null ergeben"??? stevie
29.08.2011, 20:32	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versteh die Frage nicht ganz. Was ich da gemacht habe, ist doch nichts anderes, als dass ich eine Basis explizit konstruiert habe. Ich habe n linear unabhängige Linearformen des Dualraumes angegeben, indem ihc gesagt habe, was die Linearformen auf einer Basis tun (Danach sogar noch was sie mit einem bel. Vektor tun). Damit ist eine Basis des Dualraumes doch konstruiert.
29.08.2011, 20:54	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann sieht meine Basis so aus: Okay um mein Verständnis zu testen folgendes: Sein $\begin{eqnarray} B^ = \left\{ b_1^,..., b_n^\right\} \end{eqnarray}$ die Basis des Dualraums $\begin{eqnarray} V^* \end{eqnarray}$ und sei nun $\begin{eqnarray} w^* \in V^* \end{eqnarray}$ , dann muss ich doch dieses $\begin{eqnarray} w^* \end{eqnarray}$ durch meine Basis darstellen können. Also $\begin{eqnarray} w^* = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_kv_k^* \end{eqnarray}$ so dann folgt doch für $\begin{eqnarray} w^(v) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} w^(v) = (\alpha_1v_1^* +...+ \alpha_nv_n)(v) = \alpha_1v_1^(v) +...+ \alpha_nv_n(v) \end{eqnarray}$ dann folgt mit $\begin{eqnarray} v = \sum\limits_{k=1}^n \lambda_kv_k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha_1v_1^(\sum\limits_{k=1}^n \lambda_kv_k) +...+ \alpha_nv_n(\sum\limits_{k=1}^n \lambda_kv_k) \end{eqnarray}$ das kann man nun umformen und bekommt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \alpha_1 \lambda_k v_1^(v_k) + ... + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_n \lambda_k v_n^(v_k) \end{eqnarray}$ da ja gleiche Indizes 1 geben und undgleiche Null bleibt nur: $\begin{eqnarray} \alpha_1 \lambda_1 + ... + \alpha_n \lambda_n = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \lambda_k = w^(v) \end{eqnarray*}$ Passt das so?
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29.08.2011, 21:15	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das passt alles so. Nur am Anfang hast die Basiselemente mit b betitelt und danach mit v. Man sollte sich einig werden. Allerdings sind sich b und v auch sehr nahe auf der Tastatur
29.08.2011, 21:40	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
oh ja da muss natürlich das gleich stehen, okay vielen Dank! Mit der genauen Darstellung der Basisfunktionen, habe ich irgendwie zu sehr an Vektoren gedacht und deren Aussehen...

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