paar Verständnisfragen zu Matrix, Determinate, Diagonalisierbarkeit etc

30.08.2011, 16:09

Prium

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paar Verständnisfragen zu Matrix, Determinate, Diagonalisierbarkeit etc

Hallo zusammen,

Ich sitze vor folgender Aufgabe:

Für $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} B_t=\begin{pmatrix} 3 & t \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ .
a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von $\begin{eqnarray*} B_t \end{eqnarray*}$ .
b) Bestimmen Sie die Determinante von $\begin{eqnarray*} B_t \end{eqnarray*}$ .
c) Für welche Werte von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} B_t \end{eqnarray*}$ invertierbar?
d) Für welche $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} B_t \end{eqnarray*}$ invertierbar in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ ?
e) Für welche $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ besitzt $\begin{eqnarray*} B_t \end{eqnarray*}$ einen Eigenvektor?
f) Für welche $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} B_t \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar?
g) Für welche $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} B_t \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar, wennn wir $\begin{eqnarray*} B_t \end{eqnarray*}$ als Matrix in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ auffassen?
h) Für welche $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} B_t \end{eqnarray*}$ triangulierbar?

Meine Ideen:

a) $\begin{eqnarray*} (x-3)(x-1)+t=x^2-4x+3+t \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} 3+t \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \forall t \in \mathbb{R}\setminus \{-3\} \end{eqnarray*}$ Da die Determinante nicht 0 sein darf.

Das obige sollte stimmen. ab hier bin ich mir sehr unsicher...

d)Nur für $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t=-1 \end{eqnarray*}$ ? Da gilt, falls B invertierbar ist, $\begin{eqnarray*} det(B^{-1})=(det(B))^{-1} \end{eqnarray*}$ und dieses multiplikative Inverse nur für 1 und -1 in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ liegt?

e) Eine Matrix hat einen Eigenvektor genau dann wenn sie auch einen Eigenwert besitzt. D.h. für die $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ wo das charakteristische Polynom eine Nullstelle hat, also wenn x mit $\begin{eqnarray*} x^2-4x+3+t=0 \end{eqnarray*}$ exisiert. Weiter weiß ich aber nicht... Oder gibts da nen besseren Weg?

f) Eine Matrix ist diagonalisierbar wenn das charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt und die Vielfachheiten der Eigenwerte übereinstimmt. ...

g) ...

h) Wenn das Polynom in Linearfaktoren zerfällt. ...

Vielen Dank für eure Tipps.

30.08.2011, 16:15

tmo

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Wie du schon gesagt hat, stimmen a,b,c.

Dann erstmal zur d):

Die Idee ist richtig. Aber du musst doch dann schauen für welches t, die Determinante 1 oder -1 ist. Das ist nicht für t=1 oder -1 erfüllt.

30.08.2011, 16:26

Prium

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aahh... Also $\begin{eqnarray*} 3+t=1\Leftrightarrow t=-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3+t=-1 \Leftrightarrow t=-4 \end{eqnarray*}$

Freude

Freude

30.08.2011, 16:30

tmo

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Naja die letzte Gleichung ist noch falsch gelöst, aber das kriegst du denke ich alle hin.

Zur e)

Benutze quadratische Ergänzung um das char. Polynom in die Form $\begin{eqnarray*} (x-c)^2+d \end{eqnarray*}$ zu bringen. Dann siehst du sofort wie t aussehen muss, damit es Lösungen gibt.

30.08.2011, 16:33

Prium

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Zitat:

Original von tmo
Naja die letzte Gleichung ist noch falsch gelöst, aber das kriegst du denke ich alle hin.

ups habs korrigiert smile

smile

30.08.2011, 16:50

Prium

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Zu e): $\begin{eqnarray*} x^2-4x+3+t=0 \Leftrightarrow (x-2)^2 -1 +t=0 \end{eqnarray*}$ Daraus folgt dass $\begin{eqnarray*} t \leq 1 \end{eqnarray*}$ sein muss?

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30.08.2011, 17:42

tmo

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Genau

Freude

Bei der f) hast du ja schon selbst hingeschrieben, was du überprüfen musst. Dann tue dies doch einfach mal.

Beachte dabei, dass eine Matrix mit nur einem einzigen EW genau dann diagonalisierbar ist, wenn sie schon ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist.

30.08.2011, 18:29

Prium

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hm... Kann es sein dass die Matrix für keinen Wert in R diagonalisierbar ist?
Ich hab doch das Polynom $\begin{eqnarray*} (x-2)^2-1+t \end{eqnarray*}$ Und das zerfällt nur bei $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ ?
Damit wär 2 ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 2 aber bei einer 2x2 Matrix kann doch höchstens geometrische Vielfachheit 1 sein oder?

30.08.2011, 18:36

tmo

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Wie kommst du denn darauf, dass das Polynom nur für t=1 zerfällt? verwirrt

verwirrt

31.08.2011, 12:26

Prium

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Ok das war murks. Aber wie soll ich das denn machen?
Woher soll ich wissen wann das Polynom zerfällt wenn ich das t frei wählen kann? verwirrt

verwirrt

31.08.2011, 12:32

tmo

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Wann zerfällt denn ganz allgemein ein Polynom 2ten Gerades?

31.08.2011, 12:49

Prium

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Wenn es zwei Nullstellen hat?
Also mit $\begin{eqnarray*} x^2-4x+3+t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Delta=(-4)^2-4*1*(3+t)=4-4t \end{eqnarray*}$
Das Polynom hat 2 Nullstellen wenn $\begin{eqnarray*} \Delta>0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} 4-4t>0 \Leftrightarrow t <1 \end{eqnarray*}$

Vielen Dank schonmal für deine Mühen. Freude

Freude

31.08.2011, 12:53

tmo

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Wenn es zwei Nullstellen hat (hier t<1), dann zerfällt es ja in 2 verschiedene Linearfaktoren.

Wie sehen denn dann die geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte aus? Und ist die Matrix dann diagonalisierbar?

Dann gibt es aber noch den Fall (hier t=1), dass es nur eine (doppelte) Nullstelle hat. Dann muss man halt gucken, ob auch die geometrische Vielfachheit des resultierenden Eigenwertes 2 ist, um zu überprüfen ob die Matrix diagonalisierbar ist.

31.08.2011, 13:02

Prium

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Also für t<0, die geometrische Vielfachheit kann ja nur höchstens 1 sein wegen der 2x2 Matrix, oder?
Dann wäre die Matrix diagonalisierbar für t<0.

Bei t=0 wär die Vielfachheit ja zwei, also dann nicht diagonalisierbar..

31.08.2011, 13:15

tmo

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Abgesehen davon, dass du jetzt plötzlich 0 statt 1 für den kritischen Wert für t nimmst, bringst du da noch einiges durcheinander.

Wenn es zwei verschiedene Nullstellen gibt, so gibt es zwei verschiedene Eigenwerte. Jeder Eigenwert hat mind. geometrische Vielfachheit 1. Da es sich nur um eine 2x2-Matrix handelt, haben beide also genau die geometrische Vielfachheit 1.
Die geometri. Vielfachheiten addieren sich also insgesamt zu 2, was der Dimension der Matrix entspricht. Also diagonalisierbar.

Bei nur einer Nullstelle hat der entsprechende Eigenwert die algebraische Vielfachheit 2. Die Frage ist nun, ob er auch geometrische Vielfachheit 2 hat. Das hast du immer noch nicht überprüft.

PS: Hattet ihr nicht in der Vorlesung auch den Zusammenhang zwischen Minimalpolynom und Diagonalisierbarkeit? Damit kann man hier deutlich schneller argumentieren.

31.08.2011, 13:23

Prium

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Ich meinte natürlich 1, bin ziemlich durcheinander, ja Hammer

Hammer

Ich hab doch argumentiert, dass die geometrische Vielfachheit höchstens 1 sein kann in einer 2x2 Matrix. Und da die algebraische Vielfachheit 2 ist, ist die Matrix nicht diagonalisierbar für t=1. Oder seh ich da wieder was verkehrt? verwirrt

verwirrt

Das Minimalpolynom hatten wir garnicht..

31.08.2011, 13:29

tmo

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Zitat:

Original von Prium
Ich hab doch argumentiert, dass die geometrische Vielfachheit höchstens 1 sein kann in einer 2x2 Matrix.

Diese Argumentation ist aber nicht richtig.

Es gibt sehr wohl Eigenwerte bei einer 2x2-Matrix mit geometrischer Vielfachheit 2. Allerdings haben solche Matrizen dann eine sehr besondere Form (hatte ich auch schon erwähnt).

Aber warum prüfst du es nicht einfach direkt nach?
Setze doch t=1 in deiner Matrix und bestimme dann konkret $\begin{eqnarray*} \dim Kern(2E-B) \end{eqnarray*}$

PS: Für mich unverständlich, wie man das Thema ohne Minimalpolynom behandeln kann. Was ist es denn für eine Vorlesung? Für welche Zielgruppe? Wahrscheinlich habt ihr einfach vorher nicht genug Algebraische Grundvorraussetzungen (Algebren, Polynomringe etc.) gehabt, sodass man das Minimalpolynom nicht sinnvoll in diesen Kontext bringen kann.

31.08.2011, 13:48

Prium

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Ok hab das jetzt nachgeprüft und die Dimension des Nullraums (Kern) ist tatsächlich 1, also nicht diagonalisierbar für t=1.

Zitat:

Original von tmo

PS: Für mich unverständlich, wie man das Thema ohne Minimalpolynom behandeln kann. Was ist es denn für eine Vorlesung? Für welche Zielgruppe? Wahrscheinlich habt ihr einfach vorher nicht genug Algebraische Grundvorraussetzungen (Algebren, Polynomringe etc.) gehabt, sodass man das Minimalpolynom nicht sinnvoll in diesen Kontext bringen kann.

Ist nur ne Lineare Algebra für Informatiker Vorlesung Big Laugh

Big Laugh

Und wie sieht das ganze jetzt in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ aus?
Der Unterschied ist doch, dass das Polynom auch für t>1 zerfällt?

31.08.2011, 13:50

tmo

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Ah ok, dann kann man das dem Prof wohl noch verzeihen Big Laugh

Big Laugh

In C kannst du natürlich für zwei verschiedene Nullstellen genau die selbe Argumentation bringen.
Für welche t ist die Matrix also in C diagonalisierbar?

31.08.2011, 14:19

Prium

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Für t<=1 bleibt erstmal alles wie in R?
Also diagbar für t<1 und nicht diagbar für t=1?

Für t>1 gibt es dann doch immer 2 Nullstellen in C?
Diese Nullstellen haben dann wieder algebraische Vielfachheit 1 und dann kann man doch mit der gleichen Argumentation arbeiten wie für t<1?

Demnach ist B diagbar für alle t!=1 ?

31.08.2011, 14:23

tmo

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Genau.

Freude

31.08.2011, 14:30

Prium

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Super!

Und triangulierbar ist die Matrix dann für alle t<=1 (in R), da schon das Zerfallen in Linearefaktoren als Kriterium ausreicht..

Vielen Dank für deine Hilfe!! (und deine Geduld Big Laugh

Big Laugh

)

31.08.2011, 14:32

tmo

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Das ist auch richtig. Dann hätten wirs ja geschafft Freude

Freude

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