Ableitung von e Funktion

30.08.2011, 18:42

pvachova

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Ableitung von e Funktion

Hallo,

gibt es eine gute Seele, die mit mir schrittweise folgende Aufgabe lösen würde?
Vorsicht, ich bin kein Mathe Genie, mit mir muss man Geduld haben.
Nichts für schwache Nerven!!! Hilfe

Hilfe

Bestimmen Sie die 1., 2. und 3. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(\sqrt{e} +1)e^{\frac{-1}{2}x^{2}+1 } \end{eqnarray*}$ .

Ich schätze:

extra behandeln $\begin{eqnarray*} f(u)=(\sqrt{e} +1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(v)=(e^{\frac{-1}{2}x^{2}+1 ) } \end{eqnarray*}$

f´(u)= $\begin{eqnarray*} e^{\frac{-1}{2} } \end{eqnarray*}$
f´(v)= $\begin{eqnarray*} e^{\frac{-3}{2}x } \end{eqnarray*}$

oder bin ich ganz daneben? und dann?

30.08.2011, 18:48

lgrizu

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RE: Ableitung von e Funktion
Du hast eine Funktion der Form $\begin{eqnarray*} f(y)=c \cdot e^y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c=\sqrt{e}+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=e^{-\frac{1}{2}x^2+1} \end{eqnarray*}$ .

Mit Konstanten passiert beim Ableiten was?

Die Produktregel wird also nicht benötigt, warum nicht?

Benötigt wird allerdings die Kettentregel, wie lautet diese?

Wie schaut dann y' aus?

30.08.2011, 19:14

pvachova

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Konstanten fallen weg?
Produktregel brauchen wir nicht, weil sich nicht um 2 ganzrat. Funktionen handelt?
Kettenregel:
v(x)=f(g(x))
v´(x)=f´(u)g´(x) - so steht im Buch, aber ich verstehe das nicht :-(

30.08.2011, 19:21

lgrizu

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Ja, Konstanten fallen weg beim Ableiten. Aber dasss es sich um zwei ganzrationale Funktionen handelt ist ja mal voll daneben, e-Funktionen sind im Allgemeinen nicht ganzrational.

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{e}+1 \end{eqnarray*}$ verschwindet also, deshalb braucht es keine Produktregel, oder anders gesagt, ist $\begin{eqnarray*} f(x)=c \cdot g(x) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=c \cdot g'(x) \end{eqnarray*}$ , mit c konstant.

In unserem Fall ist $\begin{eqnarray*} g(x)=e^{-\frac{1}{2}x^2+1} \end{eqnarray*}$ .

Nun die Ableitung davon bestimmen, dazu brauchen wir die Kettenregel.

Wir vereinfachen die einmal ein wenig:

$\begin{eqnarray*} (f(y))'=f'(y) \cdot y' \end{eqnarray*}$ .

Wir haben nun (wir betrachten nur unsere Funktion g(x)) die Funktion $\begin{eqnarray*} f(y)=e^y \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} y=-\frac{1}{2} x^2+1 \end{eqnarray*}$ .

Nun bestimmen wir f'(y) und y', wie schauen die aus?

30.08.2011, 19:32

pvachova

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ich habe doch geschrieben sich nicht handelt...., egal

f(y)= $\begin{eqnarray*} e^y \end{eqnarray*}$
f´(y)= $\begin{eqnarray*} e^y \end{eqnarray*}$

y´= $\begin{eqnarray*} 2*\frac{-1}{2} x^{2-1} =x \end{eqnarray*}$

?

30.08.2011, 19:34

lgrizu

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Okay, hab ich überlesen, entschuldige.

Du hast einen Vorzeichenfehler, ansonsten richtig, es ist $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \frac{-1}{2}x=-x \end{eqnarray*}$ .

Nun setzen wir das ganze in die Kettenregel ein, was erhalten wir dann?

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30.08.2011, 19:57

pvachova

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(f(y))´=

$\begin{eqnarray*} e^{y} \cdot (-x) \end{eqnarray*}$ =

= $\begin{eqnarray*} e^{\frac{-1}{2}x+1 } \cdot (-x) \end{eqnarray*}$ ?

30.08.2011, 21:09

pvachova

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ich muss jetzt leider weg. Ich melde mich wieder morgen.
Vielen Dank!

30.08.2011, 21:22

lgrizu

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Zitat:

Original von pvachova

$\begin{eqnarray*} = e^{\frac{-1}{2}x+1 } \cdot (-x) \end{eqnarray*}$ ?

Das ist richtig. Nun müssen wir nur noch die Konstante wieder heranmultiplizieren, die wir erst mal weggelassen haben.

31.08.2011, 09:57

pvachova

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das heißt:

(f(y))´= $\begin{eqnarray*} (\sqrt{e}+1)\cdot (e^{-\frac{1}{2}x+1 })\cdot (-x) \end{eqnarray*}$

ist dann

(f(y))´´= $\begin{eqnarray*} (\sqrt{e}+1)\cdot (e^{-\frac{1}{2}x+1 })\cdot 0\cdot (-x) =0 \end{eqnarray*}$

weil
x´= $\begin{eqnarray*} 1\cdot -x^{1-1} =-x^{0} =0 \end{eqnarray*}$

und die 3. das gleiche ?

(f(y))´´´= 0

???

31.08.2011, 11:05

lgrizu

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Wir benutzen nun den Ausdruck f'(x), das y sollte nur eine Hilfestellung bieten um die Kettenregel zu veranschaulichen.

Wir haben also

$\begin{eqnarray*} f(x)=(\sqrt{e} +1)e^{\frac{-1}{2}x^{2}+1 } \end{eqnarray*}$

und dementsprechend

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(\sqrt{e} +1) \cdot (-x) \cdot e^{\frac{-1}{2}x^{2}+1 } \end{eqnarray*}$

Wie du auf die zweite Ableitung kommst ist mir schleierhaft, jetzt benötigt man die Produktregel.

Zitat:

x´= $\begin{eqnarray*} 1\cdot -x^{1-1} =-x^{0} =0 \end{eqnarray*}$

Das hier ist falsch, es ist $\begin{eqnarray*} (x)'=(x^1)'=1 \cdot x^0=1 \cdot 1=1 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} x^0=1 \end{eqnarray*}$ .

Wie ebend auch lassen wir dei Konstante erst mal weg und widmen uns nur der Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=(-x) \cdot e^{\frac{-1}{2}x^{2}+1 } \end{eqnarray*}$ .

Wie lautet die Produktregel?

31.08.2011, 12:20

pvachova

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Ich habe gesagt, nichts für schwache Nerven Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe gedacht ich leite -x ab und dann das e - so wie vorher, ich verliere immer wieder den Überblick, was was ist und was mit was kombiniert sein muss traurig

traurig

, bitte Geduld haben

Produktregel
wenn
y=u*v
dann
y´=u*v´+u´*v

Konstante erst ignorieren
u=-x
v= $\begin{eqnarray*} e^{\frac{-1}{2}x+1 } \end{eqnarray*}$

u´=-1
v´= $\begin{eqnarray*} (-x)\cdot(e^{\frac{-1}{2}x+1 }) \end{eqnarray*}$

dann
y´´= $\begin{eqnarray*} (-x)\cdot(-x)\cdot(e^{\frac{-1}{2}x+1 })+e^{\frac{-1}{2}x+1) }\cdot(-1) \end{eqnarray*}$
+ die Konstante dazu

f(x)´´= $\begin{eqnarray*} (\sqrt{e}+1)[x^2\cdot(e^{\frac{-1}{2}x+1 })-e^{\frac{-1}{2}x+1 }] \end{eqnarray*}$

?

31.08.2011, 12:29

lgrizu

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Jap, das ist nun richtig.

Wir können auf den Ausdruck aber noch das Distributivgesetz loslassen, das vereinfacht uns das Bilden der nächsten Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f''(x)= (\sqrt{e}+1)[x^2\cdot(e^{\frac{-1}{2}x^2+1 })-e^{\frac{-1}{2}x^2+1 }]=(\sqrt{e}+1) \cdot e^{\frac{-1}{2}x^2+1 } \cdot (x^2-1) \end{eqnarray*}$ .

Auch bei der dritten Ableitung ignorieren wir zuerst wieder die Konstante und fügen sie später wieder an, auch hier ist die Produktregel anzuwenden.

31.08.2011, 15:53

pvachova

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f´´´(x) $\begin{eqnarray*} (\sqrt{e} +1)\cdot 2x\cdot (e^{\frac{-1}{2}x+1 })-x\cdot (x^{2}+1)\cdot (e^{\frac{-1}{2}x+1 }) \end{eqnarray*}$

?

31.08.2011, 18:00

lgrizu

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Mir fällt gerade auf, dass wir irgendwann vergessen haben, den Exponenten von x mitzuschleppen, es ist doch $\begin{eqnarray*} e^{\frac{-1}{2}x^2+1} \end{eqnarray*}$ , in unseren drei letzten Posts steht aber nur noch $\begin{eqnarray*} e^{\frac{-1}{2}x+1} \end{eqnarray*}$ , das ist zu korrigieren.

Ansonsten richtig, wie gesagt, das hoch 2 noch ergänzen.

Auch hier kann man wieder das Distributivgesetz anwenden.

31.08.2011, 18:21

pvachova

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das ^2 habe ich korrigiert.
Was heißt Distributivgesetz ?

31.08.2011, 18:23

lgrizu

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Dass man gemeinsame Faktoren "ausklammert". Das sollte ab der 5. Klasse bekannt sein.

Distributivgesetz: $\begin{eqnarray*} a \cdot b + a \cdot c=a \cdot (b+c) \end{eqnarray*}$

31.08.2011, 19:28

pvachova

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Geht´s klar, entschuldige, ich bin in Deutschland noch nicht lang und deshalb machen mir deutsche Bezeichnungen immer wieder Probleme

dann:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{e} +1)\cdot e^{\frac{-1}{2}x^{2} +1 } \cdot x\cdot (1-x^{2}) \end{eqnarray*}$

?

31.08.2011, 19:40

lgrizu

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Und noch einmal das Distributivgesetz loslassen auf x*(1-x²)=x-x³, dann haben wir es in der einfachsten Form dort stehen.

31.08.2011, 19:45

pvachova

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gemacht

Vielen, vielen, vielen Dank!

Mit Zunge

Mit Zunge

31.08.2011, 20:01

lgrizu

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Alles klar, wenn du noch Fragen hast gerne wieder.

Wink

Wink

18.09.2011, 22:30

pvachova

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Hi, jetzt habe ich noch eine Frage.
Hat die Funktion Wendepunkte?

wenn f''soll =0 dann
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{e}+1) \neq0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (e^{\frac{-1}{2}x^{2}+1) } \neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^{2}-1)=0 = \pm \sqrt{1}=\pm 1 \end{eqnarray*}$ ?

19.09.2011, 08:40

lgrizu

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Die Wendestellen sind richtig berechnet, aber diese Gleichung macht keinen Sinn:

Zitat:

Original von pvachova
$\begin{eqnarray*} (x^{2}-1)=0 = \pm \sqrt{1}=\pm 1 \end{eqnarray*}$ ?

Hier steht 0=+/- 1, und das ist in den reellen Zahlen falsch.

19.09.2011, 09:20

pvachova

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ja, ich wollte mir bisschen Arbeit sparen,

es sollte sein
x^2=1
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{1} <br /> x=\pm 1 \end{eqnarray*}$

und dann y=4,297 das gleiche bei -1 und 1?

19.09.2011, 10:10

lgrizu

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Es ist f(1)=f(-1), das sit richtig, aber ich habe heraus: f(1)=3,17920...

19.09.2011, 11:29

pvachova

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ich habe das jetzt noch mal gerechnet und jetzt bin ich bei 4,366 verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{2,718}+1)=2,649 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2,718^{-0,5\cdot x^{1}+1 }=2,718^{0,5}=1,648 \end{eqnarray*}$

y=2,649*1,648=4,366

19.09.2011, 13:52

lgrizu

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Okay, ist richtig, mein Fehler, ich habe gerechnet $\begin{eqnarray*} \sqrt{e+1} \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} \sqrt{e}+1 \end{eqnarray*}$ , also habe die 1 mit unter die Wurzel gezogen.

19.09.2011, 14:01

pvachova

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o.k. Vielen Dank
LG
Petra

19.09.2011, 18:10

lgrizu

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Jederzeit gerne wieder. Wink

Wink

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