Orthogonalmatrix

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01.09.2011, 15:22	Eric_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalmatrix Hallo Leute, zum Quadrikberechnen möchte ich einen Trick ausprobieren. Es wird gesagt, dass man eine orthogonale Matrix S finden, kann sodass z.B. $\begin{eqnarray} S \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch. Köntt ihr mir sagen, wie das hier konkret geht, bzw. allgemein? Danke und MfG
02.09.2011, 09:53	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich behaupte, dass das nicht immer geht. Sei mal $\begin{eqnarray} \langle ~,~\rangle \end{eqnarray}$ das Standardskalarprodukt. Dann: $\begin{eqnarray} 14=\langle \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} \rangle = \langle S\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}, S\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} \rangle = \langle \begin{pmatrix} c \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} c \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\rangle=c^2 \end{eqnarray}$ . D.h. es muss $\begin{eqnarray} c\in\{\pm \sqrt{14}\} \end{eqnarray}$ .
02.09.2011, 10:00	Eric_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Jester, ah super! Genau, das c hängt davon ab und ist nicht strikt vorgegeben. Das hab ich wohl vergessen zu sagen. Es muss halt nur die Form (c,0,0) haben. Ich weiß nur immernoch nicht, wie man ein S finden kann!
02.09.2011, 10:03	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht, indem man $\begin{eqnarray} (1,2,3)^T \end{eqnarray}$ zu einer Basis des gesamten Raums ergänzt und diese dann mit Gram-Schmidt orthonormalisiert. Auf dieser Basis sollte man dann sinnvoll eine (othogonale) lineare Abbildung mit den gewünschten Eigenschaften festlegen können. Bei Bedarf später mehr, habe gerade wenig Zeit.
02.09.2011, 11:11	Eric_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich habe es mal probiert mit Darstellungsmatrizen und Basiswechsel, habe aber keinen roten Faden gefunden.
02.09.2011, 11:53	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind schon die richtigen Stichworte. Ich verwende im folgenden mal die Schreibweise $\begin{eqnarray} ^B f ^C \end{eqnarray}$ für die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bzgl. der Basis $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ im Ausgangsraum und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ im Zielraum. Eine mögliche Vorgehensweise ist dann die Folgende: wir ergänzen $\begin{eqnarray} (1,2,3)^T \end{eqnarray}$ zu der Basis $\begin{eqnarray} B:=\left( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\1\\ 0 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray}$ . Das Gram-Schmidt-Verfahren liefert uns eine Orthonormalbasis $\begin{eqnarray} O:=\left( \begin{pmatrix} \frac {\sqrt{14}}{14} \\ \frac{\sqrt{14}}{7} \\ \frac{3\sqrt{14}}{14} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{182}}{14} \\ -\frac{\sqrt{182}}{91} \\ -\frac{3\sqrt{182}}{182} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{3\sqrt{13}}{13} \\ -\frac{2\sqrt{13}}{13} \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray}$ (Maple lässt grüßen...) Dabei ist zu beachten, dass das Gram-Schmidt-Verfahren unseren ersten Vektor nur normiert hat, indem es ihn durch $\begin{eqnarray} \sqrt{14} \end{eqnarray}$ dividiert hat. Wenn wir nun $\begin{eqnarray} (1,2,3)^T \end{eqnarray}$ etwa auf $\begin{eqnarray} (\sqrt{14},0,0)^T \end{eqnarray}$ abbilden möchten, so müssen wir einfach nur den ersten Basisvektor der ONB auf $\begin{eqnarray} (1,0,0)^T \end{eqnarray}$ abbilden. Damit können wir eine einfache Wahl für $\begin{eqnarray} ^S f ^O \end{eqnarray}$ treffen ( $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ bezeichne die Standardbasis des Raums) - insbesondere können wir eine orthogonale Abbildung auswählen und damit haben wir natürlich gewonnen, denn $\begin{eqnarray} ^S f ^S \end{eqnarray}$ ist dann ebenfalls orthogonal und erfüllt die gewünschte Eigenschaft. Möglicherweise geht das auch viel einfacher, aber diese Vorgehensweise funktioniert auf jeden Fall.
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02.09.2011, 12:14	Eric_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Jester, danke für die Antwort, ich werde es mir in Ruhe anschauen. Mir ist auf dem Mensa auch ein Weg eingefallen und ist vielleicht sogar das gleiche wie dein Weg. Also ich ergänze $\begin{eqnarray} (1,2,3)^T \end{eqnarray}$ zu einer Basis und wende Gram-Schmidt an. Dann habe ich eine ONB $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ die Abbildung, die $\begin{eqnarray} (1,2,3) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (c,0,0) \end{eqnarray}$ abbildet! $\begin{eqnarray} M_{E,B}(f) \end{eqnarray}$ kann ich so wählen, dass $\begin{eqnarray} b_1 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (1,0,0)^T \end{eqnarray}$ abgebildet wird. Dann wird der auch $\begin{eqnarray} (1,2,3) = \lambda b_1 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (c,0,0)^T \end{eqnarray}$ abgebildet. Wie wir auch schon wissen, ist $\begin{eqnarray} \lambda = \\| (1,2,3) \\| \end{eqnarray}$ Weiterhin: $\begin{eqnarray} c = \lambda \end{eqnarray}$ , was erstmal nebensächlich ist. $\begin{eqnarray} M_{E,B}(f) \end{eqnarray}$ kann ich als Einheitsmatrix $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ wählen! Das ist orthognal. Was ich letztendlich brauche ist aber M_{E,E}(f), aber das kriege ich jetzt leicht, denn $\begin{eqnarray} M_{E,E}(f) = M_{E,B}(f) M_{B,E}(id) = M_{E,B}(f) B^{-1} = B^{-1} \end{eqnarray}$ Danke dir nochmal
02.09.2011, 12:21	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so hatte ich mir den Rest, den ich nicht mehr notiert habe, vorgestellt.
10.02.2012, 15:53	Fragen über Fragen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht ganz, warum man nicht einfach die drei orthonormalen Basisvektoren als Zeilen der Matrix S schreibt. S ist dann orthogonal und man sieht leicht, dass das Produkt mit (1 2 3)^T den gewünschten Vektor ergibt mit c = Wurzel(14). Was bedeuten bei eurem Rechenweg solche Sachen wie M_E,B (id) B^(-1) ?

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