Mengenfolgen (Supremum,...)

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenfolgen (Supremum,...)
Meine Frage:
Hallo, ich habe mal Fragen zum Supremum/ Infimum von Mengenfolgen.

Das alles ist mir ein bisschen suspekt.

Sehe ich das richtig: Wenn ich eine monoton anwachsende (oder fallende) Mengenfolge habe, also in dem Sinne, daß (), so würde ich rein intuitiv meinen, dass das Supremum dieser Mengenfolge ist.

Wenn man aber eine Mengenfolge hat, die weniger "geordnet" ist, so ist es schon schwieriger das Supremum zu bestimmen...

Ist es da der Schnitt aus allen Mengen?

Und wie ist das mit dem Infimum?
Bei Monotonie würde ich meinen das der Schnitt das Infimum ist.

Aber wenn keine Monotonie (also abfallend oder ansteigend) vorliegt: Ist das Infimum dann die Vereinigung?



Meine Ideen:
...
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenfolgen (Supremum,...)
http://de.wikipedia.org/wiki/Limes_super...lgen_von_Mengen
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenfolgen (Supremum,...)
Diesen Artikel kenne ich, aber er beantwortet nicht meine Frage bzw. ich kann es daran nicht verstehen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mir das nochmal ein bisschen durch den Kopf gehen lassen und bin darauf gekommen, daß man vielleicht einfach das

Suprem als und das

Infimum als hat, egal, ob jetzt Monotonie vorliegt oder wie immer die Mengenfolge auch aussehen mag.


Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
ChristianII Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Du meinst also nicht die Definition von "Supremum bzw. Infimum", sondern die Definition des " Limes superior und Limes inferior" einer Mengenfolge?

Es sei A(n) eine Mengenfolge.

Der "Limes superior" ist diejenigen Mengen, bei deren Elemente es sich genau um diejenigen handelt, die in unendlich vielen Mengen A(i) enthalten sind.

Der "Limes inferior" ist diejenige Menge, bei deren Elemente es sich genau um diejenigen handelt, die in fast allen A(i) enthalten sind (d.h., jedes Element aus der Menge "Limes inferior" ist in höchstents endlich vielen A(i) nicht enthalten) .


Wir bezeichnen nun den "Limes superior" der obigen Menge mit A und zeigen:

(Man beachte, dass die obere Grenze "unendlich" ist; diese Darstellung habe ich leider nicht hinbekommen.)

1) Es sei x e A. Dann ist x unendlich vielen A(i) enthalten, also auch in jeder Vereinigung

unabhängig, welchen Wert m als untere Grenze annehmen kann. Daher ist x auch in

enthalten.

2) Es sei x nicht in A enthalten, d.h., x ist in höchstens endlich vielen A(i) enthalten. Also gibt es ein p, so dass x nicht in

enthalten ist. Also ist x auch nicht in


Dies zeigt die Gleichheit. Analog zeige man auch die Gleichheit bezüglich "Limes inferior"

Gruß
Christian
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, ich meinte eigentlich Supremum und Infimum bei Mengenfolgen:

Wie sind diese denn definiert?
 
 
ChristianII Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wenn Du also nicht "Limes superior und Limes inferior" einer Mengenfolge meinst, braucht Dich der Artikel von wikipedia nicht zu verwirren, da er für Deinen Fall nicht zutrifft.

Leider muss ich bei Deiner Frage passen, da mir die Definition von "Supremum bzw. Infimum" einer Mengenfolgen hier nicht klar ist; ich kenne die Ausdrücke z.B. dahingehend, dass das Supremum die kleinste obere Schranke einer Menge darstellt; dafür muss aber erst mal klar sein, was als Menge betrachtet werden soll.

Bin aber auch mal gespannt, was andere darüber wissen.

Gruß
Christian
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vllt. weiß es ja jemand anders.
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Was sieht denn deine Vorlesungsdefinition von Suprema und Infima von Mengenfolgen aus?
Mecky Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß gar nicht, ob ich das mal irgendwo hatte in einem Kurs, oder nur mal gelesen habe, aber in dem wikiartikel von Papahuhn steht doch beim Zusammenhang zwischen Mengen und Zahlen, dass
gilt. Dies gilt dann konsistent auch für Deine Definition vom Mengensupremum und -infimum. Du liegst also richtig
Vllt. ist die Formel sogar die Definition, die Ihr hattet.

lg. Mecky
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet:

Das Suprermum einer Mengenfolge ist der Schnitt (der Folgenglieder) und das Infimum ist die Vereinigung (der Folgenglieder)?

Habe ich das so richtig verstanden?

Meintest Du das mit: Ich hatte Recht?
Mecky Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das meinte ich, sry, wenn das missverständlich war, aber ich sehe gerade, dass Du es vertauscht hast, natürlich macht nur Supremum=Vereinigung Sinn.

lg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Supremum = Vereinigung?

Hm, das ist seltsam.

Ich erinnere mich an eine Stochastik-Aufgabe, bei der das Supremum als Schnitt verwendet wurde.

Macht das denn nicht auch mehr Sinn?

Supremum = Schnitt?


Soll es denn nicht auch hier sowas wie eine "kleinste obere Menge" sein?


Edit:

Vielleicht sollte ich diese Aufgabe dann auch hier aufschreiben, sonst weiß ja kein Mensch, was ich meine.

Es ging darum, daß reelle Zufallsvariablen waren und man sollte zeigen, daß auch eine Zufallsvariable ist.

Dazu hat man dann betrachtet.

Und daß macht ja irgendwie auch Sinn:

Wenn zum Beispiel gilt, daß eine Zufallsvariable als Bildbereich

hat und alle anderen zum Beispiel , wäre ja das Supremum hier , was ich irgendwie intuitiv richtiger finde, als die Vereinigung.
Mecky Auf diesen Beitrag antworten »

k, kA, dann will ich nix gesagt haben, obwohl rein anschaulich mMn ein supremum immer größer als die einzelnen Mengen sein sollte. Ich hab's wie gesagt auch andersrum in Erinnerung und Deine Begründung ist auch nicht so überzeugend. Also schau am besten doch nochmal nach, wie Ihr das definiert habt.

lg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Leider haben wir das gar nicht definiert, das ists ja gerade. verwirrt

Jetzt bin ich verwirrt.
auf_der_leitung Auf diesen Beitrag antworten »
1 in Meckys Beitrag
Ich soll in einer Aufgabe das beweisen, was in Meckys Beitrag steht, hab aber leider keine Ahnung was dieser 1er sein oder bedeuten soll, könnte mir das bitte jemand sagen?

Vielen Dank!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Da könnte dir das hier helfen:
Zitat:
Original von ChristianII
Der "Limes inferior" ist diejenige Menge, bei deren Elemente es sich genau um diejenigen handelt, die in fast allen A(i) enthalten sind (d.h., jedes Element aus der Menge "Limes inferior" ist in höchstents endlich vielen A(i) nicht enthalten) .


Nun nimm dir ein und zeige .

Die Eins steht hier für die Indikatorfunktion, die wir hier im Forum leider nicht doppelt gestrichen darstellen können (oder weiß jemand, wie das hier geht?).
Vielleicht kennst du die auch als und/oder unter dem Namen "charakteristische Funktion".
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