[Übungsaufgaben] Annulator

02.09.2011, 22:28

Shalec

[Übungsaufgaben] Annulator

Hallo

ich brauch noch ein paar Übungsaufgaben zum Annulator (Annulator ermitteln einfach bis schwer..klausur geeignet) da ich in ein paar tagen in LinA geprüft werde und dazu noch nicht allzuviel üben konnte. Google hat mir auch nicht wirklich Aufgaben zum nachrechnen gebracht..

Vielen Dank schonmal an die Helfer smile

02.09.2011, 23:25

jester.

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Ok, sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper, $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum, sagen wir mal endlichdimensional.
Seien $\begin{eqnarray*} U_1, ~ U_2 \leq V \end{eqnarray*}$ Teilräume. Zeige
$\begin{eqnarray*} (U_1+U_2)^\bot=U_1^\bot \cap U_2^\bot \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (U_1\cap U_2)^\bot=U_1^\bot+U_2^\bot \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ein weiterer $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum und $\begin{eqnarray*} \varphi\in{\rm Hom}_K(V,W) \end{eqnarray*}$ , bezeichne $\begin{eqnarray*} \varphi^* ~:~ W^* \to V^* \end{eqnarray*}$ die zu $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ duale Abbildung. Zeige
$\begin{eqnarray*} \varphi^*(W^*)=(\ker\varphi)^\bot \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ker(\varphi^*)=\varphi(V)^\bot \end{eqnarray*}$

Dabei stehe $\begin{eqnarray*} ^\bot \end{eqnarray*}$ stets für den Annulator.

Das sollte genügen, um dein Verständnis für dieses Thema zu schulen bzw. zu prüfen. Aufgaben à la "Bestimmen Sie den Annulator von ..." und dann nur Rechnen ist ja eher unsinnig, solche Aufgaben kann man sich selbst stellen.

Edit: Eher grundlegend, aber vielleicht auch noch nicht bekannt sind folgende Eigenschaften unter den gleichen Voraussetzungen wie oben.
$\begin{eqnarray*} U_1\subseteq U_2 ~\Rightarrow ~ U_2^\bot \subseteq U_1^\bot \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \dim (U^\bot)= \dim V - \dim U \end{eqnarray*}$

04.09.2011, 13:08

Shalec

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Huhu, danke viel mals für die aufgaben smile

hab eben die erste davon gemacht.. und mich würde es mal interessieren ob das so geht..hätte noch nen 2. ansatz.

Behauptung: $\begin{eqnarray*} (U_1+U_2)^\perp = U_1^\perp \cap U_2^\perp \end{eqnarray*}$

Beweis:

$\begin{eqnarray*} (U_1+U_2)^\perp &&= \{\phi\in V^* : \phi|_{U_1+U_2}(u)=0\}<br /> &&= \{\phi\in V^* : \phi(u)=0 \forall u\in (U_1+U_2) \}<br /> &&= \{\phi\in V^* : \phi(u)=0 \forall (u\in U_1) \wedge (u\in U_2)\}<br /> &&= \{\phi\in V^* : \phi(u)=0 \forall u\in U_1\} \cap \{\phi\in V^* : \phi(u)=0 \forall u\in U_2\}<br /> &&= U_1^\perp \cap U_2^\perp \end{eqnarray*}$

Hab hier die Struktur des Annulators ausgenutzt und mir das ganze mengentheoretisch angeschaut. Mein zweiter ansatz wäre ein Beweis über die Dimensionsformeln. Bei diesem Ansatz ist mir Aufgefalln, dass wenn U_1 und U_2 die direkte Summe von V sind, dann ist der Annulator von U_1+U_2 in der Dimension =0 und damit wohl nur die Nullmatrix.

Liebe Grüße

04.09.2011, 13:26

jester.

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Zitat:

Original von Shalec
$\begin{eqnarray*} \phi|_{U_1+U_2}(u)=0 \end{eqnarray*}$

Diese Notation ist ein wenig seltsam. Wozu schränkst du die Abbildung ein? Was ist $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ? Schreibe also lieber $\begin{eqnarray*} \phi(u)=0 ~\forall ~ u\in U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ .

Ich wäre jedoch ein wenig anders vorgegangen. Ich hätte den Beweis in die zwei Teile $\begin{eqnarray*} \subseteq, ~ \supseteq \end{eqnarray*}$ aufgeteilt, die Elemente von $\begin{eqnarray*} U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ als Summen geschrieben und die Linearität der $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ausgenutzt.
So erscheint dein Beweis sehr knapp. Das dritte Gleichheitszeichen scheinst du dem Leser zum Nachdenken zu überlassen. Wählst du jedoch $\begin{eqnarray*} \phi\in (U_1+U_2)^\bot \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} 0=\phi(u_1+u_2) ~\forall ~ u_1 \in U_1, ~ u_2 \in U_2 \end{eqnarray*}$ und folglich auch $\begin{eqnarray*} 0=\phi(u_1+0)=\phi(u_1) ~\forall ~ u_1\in U_1 \end{eqnarray*}$ und analog für $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \phi\in U_1^\bot\cap U_2^\bot \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ .
Nimmst du umgekehrt ein $\begin{eqnarray*} \phi\in U_1^\bot \cap U_2^\bot \end{eqnarray*}$ , so gilt für alle $\begin{eqnarray*} u_1\in U_1, ~ u_2\in U_2 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \phi(u_1+u_2)=\phi(u_1)+\phi(u_2)=0+0=0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \phi\in (U_1+U_2)^\bot \end{eqnarray*}$ .

So ist das Ganze weitaus besser nachzuvollziehen, oder?

Zitat:

Bei diesem Ansatz ist mir Aufgefalln, dass wenn U_1 und U_2 die direkte Summe von V sind, dann ist der Annulator von U_1+U_2 in der Dimension =0 und damit wohl nur die Nullmatrix.

Dazu muss die Summe der $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ doch nicht direkt sein. $\begin{eqnarray*} U_1+U_2=V \end{eqnarray*}$ ist doch schon hinreichend dafür, dass der Annulator trivial ist.
Zu sagen, dieser bestehe aus der Nullmatrix, ist jedoch nicht völlig richtig. Zunächst mal sind Annulatoren ja Teilräume des Dualraums, sie bestehen also aus Linearformen, i.e. linearen Abbildungen von einem Vektorraum in seinen Grundkörper.
Bei geeigneter Koordinantenwahl kann man dann aber die Nullform als (nichtquadratische!) Nullmatrix realisieren.

04.09.2011, 13:46

Shalec

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ja stimmt, ist so leichter nachzuvollziehen.. meine vermutung mit der 0-Matrix war auch sehr speziell.. (hab halt nur an abbildung und matrix gedacht und den einzigen schluss gezogen..sodass dim=0 erfüllt ist)

in der zeile mit dem 3. gleichheitszeichen hätte ich noch eine erläuterung einführen sollen.

aber auf so eine einfache Beweisführung bin ich absolut nicht gekommen Big Laugh

schön. ich mach mich dann mal an die 2. behauptung.

Vielen Dank für das schnelle feetback

04.09.2011, 20:38

Eric_09

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Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum und $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} U^{\perp} \end{eqnarray*}$ der Annulator von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ .

Zeige, dass es einen basisunabhängigen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} U^{\perp} \cong (V/U)^* \end{eqnarray*}$ gibt.

Hinweis: 1. Isomorphiesatz auf $\begin{eqnarray*} f \in U^{\perp} \end{eqnarray*}$ anwenden.

04.09.2011, 22:57

Shalec

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Zitat:

Original von Eric_09
Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum und $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} U^{\perp} \end{eqnarray*}$ der Annulator von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ .

Zeige, dass es einen basisunabhängigen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} U^{\perp} \cong (V/U)^* \end{eqnarray*}$ gibt.

Hinweis: 1. Isomorphiesatz auf $\begin{eqnarray*} f \in U^{\perp} \end{eqnarray*}$ anwenden.

nais..muss dazu aber sagen, dass wir das in LinA haben und Isomorphiesätze nich inner VL genannt wurden (kenne sie jedoch, da ich Algebra bereits gehört habe)

hatte btw. noch keine zeit die beweise ewiter zu führen, werd mich aber jetzt dran setzen^^ find diese aufgaben aber nett.. generell macht mir sowas mehr spaß als das fernsehprogramm Big Laugh

(wo nicht mehr viel zu gehört..aber offtopic.)

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