Prüfen auf Unterräume

05.09.2011, 12:31

Laren0815

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Prüfen auf Unterräume

Hi,

Ich habe diese Aufgabe, aber irgentwie komme ich nicht weiter.
Ich weis, dass ich jetzt einfach auf Abgeschlossenheit der Addition und Multiplikation prüfen muss.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+x \\ y+y \\ z+z \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_{1} *\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_{1}x \\ k_{1}y \\ k_{1}z \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$

Aber ich kapiere 2 Dinge nicht, woran sehe ich jetzt das das Ergebnis jetzt auch wircklich in U liegt und wie gehe ich an die Aufgaben heran?

Danke und viele Grüße

05.09.2011, 12:40

Cel

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Hallo,

zunächst musst du bei der Addition verschiedene Vektoren addieren, nutze am besten Idizes:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, nimm dir jetzt einfach zwei Vektoren aus den jeweiligen Mengen und schau nach, ob die Summe und das Vielfache drinliegt. Übrigens musst du auch beweisen, dass die Menge nicht leer ist. Es bietet sich immer an, zu zeigen, dass der Nullvektor enthalten ist.

Beim ersten Beispiel gilt für zwei Elemnte der Menge, dass die ersten beiden Komponenten in Summe gleich Null sind. Gilt das dann auch für die Summe der Vektoren (!) bzw. das Vielfache der beiden Elemente?

05.09.2011, 12:59

Laren0815

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Bezogen auf die erste Aufgabe:

1. Kriterium
$\begin{eqnarray*} x+y=0 ; 0+0=0 \end{eqnarray*}$ stimmt also

2.Kriterium

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 \\ y1 \\ z1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} x2 \\ y2 \\ z2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x1+x2 \\ y1+y2 \\ z1+z2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
daraus folgt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1+y1 \\ y1+x1 \\ z1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} x2+y2 \\ y2+x2 \\ z2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} (x1+y1)+(x2+y2) \\ (y1+x1)+(y2+x2) \\ z1+z2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit?

05.09.2011, 13:04

Cel

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Schreibe beim 1. Kriterium: Menge nicht leer oder ähnliches. Denn dieses x+y = 0 gilt für die Elemente der Menge, die Kriterien, die du nennst, zielen auf die Untervektorraumeigenschaft ab.

So, was machst du nach "daraus folgt"? Das verstehe ich nicht. Du solltest bereits darüber aufhören. Du weißt für den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} x_1 + y_1 = 0 \end{eqnarray*}$ ist und für den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} x_2 + y_2 = 0 \end{eqnarray*}$ . Die ersten beiden Komponenten sind addiert = 0. Gilt das auch für den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

05.09.2011, 13:16

Laren0815

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Eigentlich nicht, oder?

Da ja $\begin{eqnarray*} x_{1} + y_{1}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} + y_{2}=0 \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} x_{1} = -1; x_{2} = -2; y_{1} = 1; y_{2} = 2; \end{eqnarray*}$ stimmt.
und dann wäre ja $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1+x2 \\ y1+y2 \\ z1+z2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)+(-2) \\ 1+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für die ersten beiden Spalten,oder?

05.09.2011, 19:59

Cel

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Du hast noch nicht ganz die Definition der Menge verstanden, scheint mir. Es geht darum, dass bei Addieren der 1. und 2. Komponente des Vektors 0 herauskommt.

Du sagst richtigerweise, dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\z_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-2 \\ 2 \\z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in der Menge sind (z-Komponente ist egal). Immerhin ist -1+1 = -2+2 = 0. Addieren wir die Vektoren, kommt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-3 \\ 3 \\z_1 + z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ heraus. Dieser Vektor ist aber sicherlich auch in der Menge drin, immerhin ist doch -3+3 = 0.

Ich sage es dir mal: Diese Menge ist ein Untervektorraum. Du musst es allgemein aufschreiben.

Richtig war: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

So, der rechte Vektor liegt in der Menge. Addiere die ersten beiden Komponenten, da kommt dann 0 heraus. Warum? Das musst du begründen. Bedenke, die linken Vektoren liegen in der Menge.

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06.09.2011, 11:24

Laren0815

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ok, hab jetzt gestern noch versucht das hinzu bekommen. Ich versuche mich mal nochmal an der 1 Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}|x+y=0 \right\} \end{eqnarray*}$

1. Wegen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} U\neq leere Menge \end{eqnarray*}$

2. Seien $\begin{eqnarray*} U_{1}=\begin{pmatrix} x1 \\ y1 \\ z1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_{2}=\begin{pmatrix} x2 \\ y2 \\ z2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ beliebig und $\begin{eqnarray*} \lambda \in R \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} U_{1} \Rightarrow y_{1}=-x_{1} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} U_{2} \Rightarrow y_{2}=-x_{2} \end{eqnarray*}$

Betrachte $\begin{eqnarray*} U_{1}+U_{2}=\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$

zu zeigen $\begin{eqnarray*} y_1+y_2=-(x_1+x_2) \end{eqnarray*}$

Es gilt: $\begin{eqnarray*} y_1+y_2=-x_1-x_2=-(x_1+x_2) \end{eqnarray*}$ ,

also $\begin{eqnarray*} U_1+U_2\in U \end{eqnarray*}$ ,wegen dem gleichen "zu zeigen" und "es gilt" Ergebnis

3. zu zeigen $\begin{eqnarray*} \lambda *U_1\in U \end{eqnarray*}$

Es gilt $\begin{eqnarray*} \lambda *U_1=\lambda*\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \lambda x_1 \\\lambda y_1 \\\lambda z_1 \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$

zu zeigen $\begin{eqnarray*} \lambda y_1 = -\lambda x_1 \end{eqnarray*}$

Wir wissen $\begin{eqnarray*} y_1=-x_1 |*\lambda \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} \lambda y_1=-\lambda x_1 \end{eqnarray*}$ wieder habe ich das gleiche Ergebnis

Also ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe es stimmt geschockt

geschockt

Grüße

06.09.2011, 12:13

Cel

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Joah, so kann man das machen. Freude

Freude

07.09.2011, 11:08

Laren0815

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ok vielen Dank Wink

Wink

Jetzt mal rein aus Interesse, gäbe es da auch noch andere Wege zur Lösung, oder ist dies "Standart" Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.09.2011, 11:13

Eric_09

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Zitat:

Original von Laren0815
ok vielen Dank Wink

Wink

Jetzt mal rein aus Interesse, gäbe es da auch noch andere Wege zur Lösung, oder ist dies "Standart" Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der Standard-weg um zu Prüfen ob $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist, ist einfach zu prüfen ob gilt:

$\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \in X \Rightarrow \alpha x_1 + \beta x_2 \in X , \forall \alpha, \beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Das ist die Abgeschlossenheit bzgl Addition und skalarer Multiplikation.

Ich hab deinen Weg mal überflogen und würde sagen, dass es viel einfacher und systematischer geht.

07.09.2011, 11:39

Laren0815

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Zitat:

Ich hab deinen Weg mal überflogen und würde sagen, dass es viel einfacher und systematischer geht.

Hab ich mir schon gedacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie wäre dein Weg?

07.09.2011, 11:50

Cel

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@Eric_09: Viel einfacher? Dann zeig mal. Ich hätte es so gemacht:

Zitat:

Original von Laren0815
Betrachte $\begin{eqnarray*} U_{1}+U_{2}=\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$

Hier hätte ich gesagt: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x_1+x_2 + y_1+y_2 = \underbrace{x_1+y_1}_{=0} + \underbrace{x_2+y_2}_{=0} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Analog hier:

Zitat:

Original von Laren0815
Es gilt $\begin{eqnarray*} \lambda *U_1=\lambda*\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \lambda x_1 \\\lambda y_1 \\\lambda z_1 \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda x_1 \\\lambda y_1 \\\lambda z_1 \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \lambda x_1 + \lambda y_1 = \lambda \underbrace{(x_1 + y_1)}_{=0} = 0 \end{eqnarray*}$ .

07.09.2011, 11:54

Eric_09

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Ja, Cel, das meine ich, du hast es doch auch einfacher
und systematischer gemacht ^^

Man muss nicht unbedingt x = -y besprechen.

07.09.2011, 12:03

Eric_09

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Seien $\begin{eqnarray*} v_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} x_1 + y_1 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 + y_2 = 0. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha v_1 + \beta v_2 = \alpha \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha x_1 + \beta x_2 \\ \alpha y_1 + \beta y_2 \\ \alpha z_1 + \beta z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist in U, denn

$\begin{eqnarray*} (\alpha x_1 + \beta x_2)+(\alpha y_1 + \beta y_2) = \alpha (x_1 + y_1) + \beta (x_1 + y_2) = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist also immer Schema-F. Und wenn es nicht klappt,
ist es entweder schwer, oder vllt ist die zu untersuchende
Menge gar kein Unterraum. Dann wäre dann ein Gegenbeispiel angebracht.

07.09.2011, 12:06

Cel

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Nun ja, einfacher ... Systematischer, da stimme ich dir zu. Jedenfalls ist ja Laren0815s Lösung auch richtig.

@Laren0815: Wenn du Eric_09s Formel kennst, dann solltest du es bei den anderen ähnlich machen.

19.09.2011, 15:54

madMike

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das mit der a) leuchtet ein, aber wie geht man dann z.b. an die b) und c) ran?

19.09.2011, 16:03

Cel

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Warum bleibst du nicht bei einem Namen? verwirrt

verwirrt

Nun, es geht wie bei der ersten Aufgabe. Nimm zwei Vektoren, addiere sie und guck, ob der neue Vektor wieder in der Menge liegt. Und auch beim Vielfachen. Oder nimm halt Erics zusammengesetzte Bedingung.

Mein Tipp: Suche bei der c) ein Gegenbeispiel, diese Menge bildet keinen UVR.

20.09.2011, 12:13

Laren0815

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Zitat:

Warum bleibst du nicht bei einem Namen? verwirrt

Vorher war ich in einem anderem Forum und in Gedanken hab ich mich mit dem Namen angemeldet Augenzwinkern

Augenzwinkern

hab hier noch was gearbeitet:

b) ist in U da
1. $\begin{eqnarray*} \underbrace{z_{1}}_{\leq 0}+\underbrace{z_{2}}_{\leq 0}\leq 0 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \lambda \underbrace{z_{1}}_{\leq 0} \leq 0 \end{eqnarray*}$

c) ist es hier nicht so:

1. $\begin{eqnarray*} \underbrace{x_{1}*y_{1}}_{= 0}+\underbrace{x_{2}*y_{2}}_{= 0}=0 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \lambda \underbrace{x_{1}}_{= 0}*\lambda \underbrace{y_{1}}_{= 0} = 0 \end{eqnarray*}$

Dann wäre doch die c) auch in U, oder hab ich hier etwas falsch gemacht?

Viele Grüße

20.09.2011, 12:52

Cel

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Mir fällt gerade was auf: Was ist, wenn bei der b) $\begin{eqnarray*} \lambda < 0 \end{eqnarray*}$ ?

Und bei der c) verstehe ich wieder nicht, was du da machst? Noch mal:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die linken beiden Vektoren sind in der Menge, die Bedingung, die du nun prüfen müsstest, wäre

$\begin{eqnarray*} (x_1 + x_2) \cdot (y_1 + y_2) = 0 \end{eqnarray*}$ . Aber wie gesagt, es gibt da ein Gegenbeispiel. Ein ziemlich einfaches.

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