Vergleich Volumen und Oberfläche von Würfel und Kugel

06.09.2011, 13:34	enthusiasm	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergleich Volumen und Oberfläche von Würfel und Kugel Meine Frage: Hallo Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe, die ich vom Ansatz her, denke ich verstanden habe, jedoch gelingt es mir nicht, sie zu Ende zu rechnen. Ich hoffe, dass mir hier jemand helfen kann. Hier ist die Aufgabe: Ein Würfel mit der Kantenlänge a ist mit n^3 Kugeln vom Durchmesser a/n gefüllt. Berechne Volumen und Oberflächeninhalt aller Kugeln zusammen und vergleiche mit dem Würfel. Wie hängt das Volumen des Restkörpers, also der "Luft" von n ab? Meine Ideen: V(Würfel) = a^3 O(Würfel) = 6a^2 V(Kugeln) = n^34/3(a/2n)^3pi Mein Problem liegt dann beim Ausrechnen. Das wäre mein Versuch: = n^3/14a^3/6n^3pi = 4a^3n^3/6n^3pi = 4/6a^3pi = ca. 2,09 Da ich die Lösung eigentlich vorliegen habe, weiß ich, dass das korrekte Ergebnis eigentlich 0,5a^3 lauten müsste. Ich komme aber leider überhaupt nicht darauf. Dasselbe Problem habe ich auch beim Oberflächeninhalt der Kugeln: O(Kugeln) = 4pi(a/2n)^2n^3 = 4pia^2/4n^2n^3 = 4pia^2/4n^5 Das richtige Ergebnis sollte hier 3a^2n lauten. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand erklären könnte, wie ich diese Aufgabe lösen kann, da ich auch nach mehrmaligem Probieren und Suchen nach Rechenregeln nichts finde, dass irgendwie funktioniert.
06.09.2011, 13:56	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vergleich Volumen und Oberfläche von Würfel und Kugel hallo! kann leider nicht besonders gut erkennen wie du gerechnet hast, aber so wäre es richtig: $\begin{eqnarray} V(kugeln)=\frac{4}{3}\pi r^{3}\cdot n^{3}=\frac{4}{3}\pi (\frac{d}{2})^{3}\cdot n^{3}=\frac{4}{3}\pi (\frac{a}{2n})^{3}\cdot n^{3}=\frac{\pi }{6}a^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} O(kugel)=4\pi r^{2}\cdot n^{3}=4\pi (\frac{d}{2})^{2}\cdot n^{3}=4\pi (\frac{a}{2n})^{2}\cdot n^{3}=\pi a^{2}n \end{eqnarray}$
06.09.2011, 14:06	enthusiasm	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vergleich Volumen und Oberfläche von Würfel und Kugel Dankeschön, ich konnte den Rechenweg leider optisch nicht übersichtlicher darstellen... Ich frage mich nur, wie du beim Volumen von dem vorletzten auf den letzten Schritt kommst. Das ist mir nicht ganz klar, ich übersehe oder kenne wohl eine Rechenregel nicht.
06.09.2011, 14:31	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vergleich Volumen und Oberfläche von Würfel und Kugel in etwas so: (hoffe du meinst auch das) $\begin{eqnarray} \frac{4}{3}\pi (\frac{a}{2n})^{3}\cdot n^{3}=\frac{4}{3}\pi \frac{a^{3}}{2^{3}n^{3}}\cdot n^{3}=\frac{4}{3}\pi \frac{a^{3}}{8}\frac{n^{3}}{n^{3}}=\frac{4}{3}\pi \frac{a^{3}}{8}=\pi \frac{4}{3}\frac{a^{3}}{8}=\pi \frac{4}{8}\frac{a^{3}}{3}=\pi \frac{1}{2}\frac{a^{3}}{3}=\pi \frac{a^{3}}{2\cdot 3}=\frac{\pi }{6}a^{3} \end{eqnarray}$
06.09.2011, 14:45	enthusiasm	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vergleich Volumen und Oberfläche von Würfel und Kugel Ja, genau das hab ich gemeint. Ich konnt es nicht genau erklären, was ich meine, weil es ja eigentlich "nur" ausrechnen ist. Aber mit deinem ausführlichen Rechenweg find ich es sehr nachvollziehbar. Vielen, vielen Dank.
06.09.2011, 14:49	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vergleich Volumen und Oberfläche von Würfel und Kugel ja das war vielleicht schon etwas zu ausführlich. am besten du schreibst dir sowas zusammen in einen bruch und kürzt einfach alles, was zu kürzen geht. lg
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06.09.2011, 14:56	enthusiasm	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vergleich Volumen und Oberfläche von Würfel und Kugel Danke für den Tip. :-) Ja, im allgemeinen ist es ja verwirrend, wenn da so viel und so ausführlich was da steht, aber jetzt zum Verstehen hat mir dieses kleinschrittige Schritt für Schritt wirklich sehr gut geholfen.

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