Integration (x+1)

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06.09.2011, 15:23

Babi

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Integration (x+1)

Meine Frage:
Stimmt (x+1) e^x dx = (x+1)e^x +c ? Habe ich das richtig integriert?

Meine Ideen:
siehe oben..

06.09.2011, 15:35

Alive-and-well

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nein

06.09.2011, 17:18

allahahbarpingok

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Partielle Integration.

06.09.2011, 18:03

isbn

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$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (x+1) \cdot e^{x} \, dx = (x+1) \cdot e^{x} - \int_a^b \! e^{x} \, dx = (x+1)\cdot e^{x} -e^{x} = e^{x} ((x+1)-1)) = e^{x} \cdot x \end{eqnarray*}$ Korrigiert mich wenn ich einen Fehler gemacht habe smile

Dann brauchst du nur noch das Integral in den jeweiligen Grenzen zu berechnen Wink

06.09.2011, 18:08

isbn

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Kann mir vielleicht einer helfen dieses Konstrukt partiell zu integrieren ? $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{x+1}{x^{4}-x} \, dx = \int_a^b \! \frac{x+1}{x(x^{3}-1)} \, dx \end{eqnarray*}$ Ich wollte das mithife vom Koeffizientenvergleich machen aber die dreifache Nullstelle verwirrt mich an dieser Stelle irgendwie kann jmd kurz helfen bitte ?

06.09.2011, 18:09

Alive-and-well

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eigentlich sollen hier ja keine lösungen gepostet werden!

06.09.2011, 18:09

weisbrot

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@isbn:

wenn du die grenzen weglässt ists korrekt Augenzwinkern

06.09.2011, 18:31

isbn

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@alive

du hast recht aber iwo sind wir ja auch alle erwachsen und ich hab extra den gesamten weg notiert damit er es nachvollziehen kann und es bringt ja nix wenn man die menschen bis zur Verzweiflung zappeln lässt ... smile

Kann mir einer bitte bei der Zerlegung meines Integrals weiter helfen verwirrt

Wär echt super nett

06.09.2011, 18:35

weisbrot

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mhh.. vielleicht hilft partialbruchzerlegung. ne gute substitution fällt mir grad nicht auf.

06.09.2011, 18:42

isbn

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Zitat:

Original von weisbrot
mhh.. vielleicht hilft partialbruchzerlegung. ne gute substitution fällt mir grad nicht auf.

Ich dachte auch an Partialbruchzerlegung , dann hab ich $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{x+1}{x(x^{3}-1) } \, dx \end{eqnarray*}$ Also einmal $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^{3}-1=0 \end{eqnarray*}$ Dann hab ich also eine dreifache Nullstelle aber wie drück ich das richtig aus das verwirrt mich etwas. Ich meine $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x} + \frac{B}{?} \end{eqnarray*}$ Verstehst du meine Frage ? smile

06.09.2011, 18:46

weisbrot

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nein nein,
du hast x=0, x=1 und 2 komplexe nullstellen, wenn ich das richtig sehe.

edit: oh nein blödsinn, naja dann hast du x=1 halt 3mal..

06.09.2011, 18:51

isbn

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Zitat:

Original von weisbrot
nein nein,
du hast x=0, x=1 und 2 komplexe nullstellen, wenn ich das richtig sehe.

edit: oh nein blödsinn, naja dann hast du x=1 halt 3mal..

Das hab ich mir auch überlegt ! Big Laugh

Und wenn ich (x-1)^3 hätte würde ich A/(x-1) + B/(x-1)^2 + C/(x-1)^3 rechnen , richtig ?

06.09.2011, 18:53

weisbrot

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na die 2. aussage war auch nicht ganz richtig. was bei dir das ? ist ist dann (x-1), dann fehlen noch C/((x-1)^2) + D/((x-1)^3)

06.09.2011, 18:57

allahahbarpingok

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Hallo,

hier läuft einiges schief.

Das Polynom:

f(x) = x^3 - 1

hat keine n-fachen Nullstellen. Um genau zu sein, ist x=1 eine reelle Nullstelle und 2 weiter sind komplex. Ich nehmen an, du willst eine reelle Partialbruchzerlegung. Der nächste Schritt ist jetzt also, das Polynom weiter in Linearfaktoren zu zerlegen. Da du 1 Nullstelle hast, dividierst du nun (x-1) mit Polynomdivision ab. Dann erhälhst du ein Polynom 2-ten Grades.

06.09.2011, 19:03

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Moment ich glaube wir reden aneinander vorbei smile

Das 2.Beispiel hatte ja nichts mit meinem ersten zu tun hehe das hätte ich vielleicht klarer machen sollen smile

Bei dem eigentlichen handelt es sich immer noch um $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{x+1}{x(x^{3}-1 } \, dx \end{eqnarray*}$ und das ist ja nicht das gleiche wie $\begin{eqnarray*} (x-1)^{3} \end{eqnarray*}$ da wär das letzte was du gesagt hast ja richtig , da bin ich mir ziemlich sicher. Bei mir schau ich jetzt nach den Nullstellen und habe entweder x_1=0 oder x^3-1 = 0 , wie gesagt . Das bedeutet doch x^3=1 also x_2,3,4 = 1. Dann müsste doch $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x+1} + \frac{D}{x+1} = \frac{x+1}{x(x^{3}-1 )} \end{eqnarray*}$ richtig sein Forum Kloppe

Dann mit dem Nenner von der rechten Seite multiplizieren , kürzen etc. ? geschockt

06.09.2011, 19:04

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@allahahbarpingok ich hatte deinen Beitrag nicht gelesen als ich meinen letzten gepostet hab sry

06.09.2011, 19:07

weisbrot

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ja stimmt, also doch, die nullstelle wäre 3fach, wenn es heißen würde (x-1)^3 Hammer

06.09.2011, 19:20

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Okay aus der PD folgt $\begin{eqnarray*} (x^{3}-1) : (x-1) =x^{2}+x+1 \end{eqnarray*}$ Hab ich dann $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} +\frac{C}{?} \end{eqnarray*}$ ? Wobei statt dem ? die Nullstellen von x^2+x+1 brauche ,je nach dem wieviele es sind ... Aber wie komme ich an die bin grad total blockiert verwirrt

PQ ?!

06.09.2011, 19:28

weisbrot

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na wie schon gesagt sind das ja komplexe nullstellen, da du eine reelle partialbruchzerlegung machen willst, bleibt dieses polynom so wies is und kommt in den nenner, und in den zähler kommt etwas wie (Ax+B).

06.09.2011, 19:28

allahahbarpingok

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Ja Polynome 2-ten Grades gehen immer mit der PQ- bzw. Mitternachtsformel. Nur hier wirst du nicht mehr weiter im reellen zerteilen können. Wenn du eine relle Partialbruchzerlegung haben willst, ist hier schon Schluß. Der Zähler des 2-ten Summanden ist falsch in deinem Ansatz für die Partialbruchzerlegung. Du übernimmst direkt die Linearfaktoren des Polynoms in den Zähler. Wir hatten doch (x-1) als Linearfaktor und nicht (x+1). Augenzwinkern

Insgesamt ergibt sich dieser Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_1}{x} + \frac{a_2}{x-1} + \frac{a_1\cdot x+d_1}{x^2+x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1, a_2, d_1 \end{eqnarray*}$ sind die zu bestimmenden Koeffizienten. Man beachte den dritten Summaden. Bei Polynom 2-ten Grades im Nenner musst du den Zähler so aufschreiben, wie ich.

06.09.2011, 19:33

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Super danke euch ! Nur noch eine kleine , vielleicht merkwürdige Frage LOL Hammer

Der Zähler auf den du mich im 3. Summanden aufmerksam gemacht hast " a_1*x + d" den muss ich so aufschreiben weil der Nenner einen Grad von 2 hat aber wie kommst du darauf , soll ich mir das einfach merken oder hast du das iwie abgeleitet Forum Kloppe

06.09.2011, 19:50

allahahbarpingok

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Bestimmt kann man sich das irgendwie herleiten. Kann ja nicht vom Himmel gefallen sein. Aber es reicht natürlich sich diesen Ansatz zu merken. Der ist immer gleich. Hier mal ein größerer Beispiel.

$\begin{eqnarray*} \frac{P(x)}{(x-1)^4\cdot (x+2)\cdot (x^2-2x+4)^3} = \frac{a_1}{x-1} + \frac{a_2}{(x-1)^2} + \frac{a_3}{(x-1)^3} + \frac{a_4}{(x-1)^4} + \frac{b_1}{x+2} + \frac{c_1\cdot x+d_1}{x^2-2x+4} + \frac{c_2\cdot x+d_2}{(x^2-2x+4)^2} + \frac{c_3\cdot x+d_3}{(x^2-2x+4)^3} \end{eqnarray*}$

P(x) ist ein Polynom, das teilerfremd zum Nennerpolynom ist und dessen Grad kleiner ist.

edit: Mir ist hier ein kleiner Fehler unterlaufen. Die Koeffizienten müssen natürlich alle verschieden sein. c_1, c_2, c_3 müssen als weitere Konstanten eingeführt werden. Genauso bei deiner Aufgabe oben habe ich den selben Fehler im Ansatz mit dem Koeffizienten gemacht. Habe es jetzt verbessert.

06.09.2011, 19:58

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Super danke für die viele Arbeit Freude

06.09.2011, 20:15

allahahbarpingok

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Mir ist hier ein kleiner Fehler unterlaufen. Die Koeffizienten müssen natürlich alle verschieden sein. c_1, c_2, c_3 müssen als weitere Konstanten in dem Beispiel eingeführt werden. Genauso bei deiner Aufgabe oben habe ich den selben Fehler im Ansatz mit dem Koeffizienten gemacht.

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