Assoziativität, Kommutativität IR, Beweis

06.09.2011, 16:01

Pascal95

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Assoziativität, Kommutativität IR, Beweis

Hallo,

bekanntlich ist ja die Assoziativität wie auch die Kommutativität beider Verknüpfungen für einen Körper eine Voraussetzung, um eben Körper genannt werden zu dürfen.

Nun müsste man ja eigentlich irgendwann mal überprüft haben, ob denn die o.g. Axiome erfüllt werden.

Aber leider habe ich dazu nichts gefunden, sondern nur Beweise (z.B. Komplexe Zahlen bilden einen Körper), die dann Assoziativität und Kommutativität als auf die neue Menge von den reellen Zahlen übertragen ansehen ("Kommutativität vererbt sich von IR auf ...[Teilmenge von IR]")

Aber, ob nun eine Gruppe kommutativ ist, hängt ja vor allem (oder sogar nur ?) von der Verknüpfung ab.
Man müsste also zeigen, dass "+" und "*" kommutativ sind.

Dazu habe ich mir mal die reellen Zahlen in unserem gewöhnlichen Stellenwertsystem vorgestellt:

$\begin{eqnarray*} <br /> z_1 &=& r_n r_{n-1} \ldots r_1 r_0~ , ~ r_{-1} r_{-2}\ldots r_{-m} \in \mathbb R<br /> z_2 &=& s_n s_{n-1} \ldots s_1 s_0~ , ~ s_{-1} s_{-2}\ldots s_{-m} \in \mathbb R<br /> \end{eqnarray*}$

Wobei die Anzahl der Vorkommastellen von $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ ist und dessen Anzahl an Nachkommastellen $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ beträgt; für $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ analog.

$\begin{eqnarray*} n &=& \max \{ n_1,~ n_2 \}<br /> m &=& \max \{ m_1,~ m_2 \} \end{eqnarray*}$

Nun könnte man wie gewohnt Stelle für Stelle addieren und auf Überträge achten.

Dann kann man für $\begin{eqnarray*} z_2+z_1 \end{eqnarray*}$ verwenden, dass latex]r_i + s_i = s_i+r_i[/latex].

Das sind ja endlich viele Versuche, die man dazu machen müsste, um es nachzuweisen.

Allerdings handelt es sich hierbei nur um $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} m_1, \, n_1\in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$

Allerdings bin ich mir sehr unsicher, ob man das so machen könnte.

Vielleicht hat noch jemand eine Idee ?

Vielen Dank,

06.09.2011, 16:09

tmo

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Wenn man die reellen Zahlen als Körper nicht als gegeben (also axiomatisch eingeführt) hinnehmen will, so muss man sie aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ konstruieren.

Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten:

- Als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen
- Als Dedekind-Schnitte
- Als Intervallschachtelungen

In allen 3 Fällen folgen die Rechengesetze in der Tat direkt aus denen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$

06.09.2011, 16:17

Pascal95

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Ok,
letztere beiden sagen mir zwar vom Namen etwas, aber wie man aus denen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ "konstruieren" kann, wüsste ich nicht.

Aber dann muss man ja noch zeigen, dass (1) Kommutativität und Assoziativität in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gelten (könnte ja eigentlich so gehen, wie ich beschrieben habe) und (2) zeigen, dass die auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ übertragen werden.

06.09.2011, 16:27

tmo

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Zitat:

Original von Pascal95
Aber dann muss man ja noch zeigen, dass (1) Kommutativität und Assoziativität in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gelten

Die folgt aus den Rechengesetzen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , die wiederum aus denen von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ folgen. Und die wiederum folgen aus den Peano-Axiomen, die wiederum eng mit den Axiomen der Mengenlehre zusammenhängen.

Du siehst: Wenn du das von Grund auf machen willst, ist es recht viel Arbeit. Aber wenn du willst, kann ich dir dazu gute Literatur empfehlen (es lohnt sich!).

Man kann systematisch erst die natürlichen Zahlen konstruieren, aus denen dann die ganzen Zahlen, aus denen dann die rationalen Zahlen und dann schließlich die reellen Zahlen.

Wenn dir das noch zu viel ist, so könntest du "bei $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ anfangen", indem du einfach mal die Existenz irgendeines Körpers mit der Charakteristik 0 postulierst und dann den kleinsten Unterkörper davon (also von 0 und 1 erzeugt) $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nennst.

06.09.2011, 16:52

Pascal95

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Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Original von Pascal95
Aber dann muss man ja noch zeigen, dass (1) Kommutativität und Assoziativität in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gelten

Die folgt aus den Rechengesetzen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , die wiederum aus denen von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ folgen. Und die wiederum folgen aus den Peano-Axiomen, die wiederum eng mit den Axiomen der Mengenlehre zusammenhängen.

Achja, natürlich.
Mit Schulwissen würde man dann sagen, dass man die rationalen Zahlen als Bruch schreiben kann, entsprechend erweitert, sodass beide Summanden den gleichen Nenner haben, kann dann die Zähler addieren und den Nenner beibehalten.

Aber ich fand auch mal folgende Definition: $\begin{eqnarray*} \mathbb Q := \left\{ x\in\mathbb R~ \mid ~ x = \frac a b \right\} \end{eqnarray*}$

Hier braucht man schon die reellen Zahlen ?

Bekannt ist bei mir vielmehr:
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q := \left\{ \frac a b~ \mid ~ a\in \mathbb Z,~ b\in\mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$

Charakteristik ist die kleinste natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \underbrace{1+\ldots+1}_{n\ \text{mal}}=0 \end{eqnarray*}$ (eben diese Summe) das Nullelement im Körper ergibt.

(Dazu hatten wir schon mal eine Diskussion Körper, Summe von Einsen)

Allerdings sind das doch gerade die unendlichen Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} \operatorname{Char} K = 0 \end{eqnarray*}$ haben.

Zitat:

kleinsten Unterkörper davon (also von 0 und 1 erzeugt)

Wie meinst du das ?

06.09.2011, 17:09

Eric_09

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Bevor du $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ verstehen möchtest, frage ich mal zuerst
ob die Äquivalenzklassen was sagen ?

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06.09.2011, 17:26

Pascal95

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Oh, ich habe gerade nicht gesehen, dass jemand geantwortet hat.

Ja, eine Äquivalenzklasse ist die Menge (oder eben Klasse) aller zu einem Element stehenden Äquivalenten Elemente bezüglich einer Relation.
Muss das dafür eine Äquivalenzrelation sein ? (Ich denke nicht)

So ungefähr :
$\begin{eqnarray*} \text{Sei}\ \sim\ \text{eine Relation auf}\ M. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [a]_\sim = \{ b \in M ~ \mid ~ a\sim b \} \end{eqnarray*}$
?

06.09.2011, 19:01

tmo

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Zitat:

Original von Pascal95
Bekannt ist bei mir vielmehr:
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q := \left\{ \frac a b~ \mid ~ a\in \mathbb Z,~ b\in\mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$

Ja, das wird in der Schule so geleert, in der Hochschulmathematik ist da aber sofort die Frage, was denn der Bruchstrich bedeuten soll? Schließlich gibt es so eine Operation auf den ganzen Zahlen nicht.

Um sowas wie $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ zu erhalten, muss man eine Äquivalenzrelation auf den ganzen Zahlen einführen und kann dann die Äquivalenzklasse zu $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ formal als $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ definieren (d.h. wir führen diese Schreibweise einfach ein) und durch geschickte Definition von Addition und Multiplikation die Bruchrechenregeln imitieren.
Aber wie gesagt: Dazu kann ich dir nur empfehlen, darüber ein Buch in die Hand zu nehmen.

Zitat:

Original von Pascal95
Allerdings sind das doch gerade die unendlichen Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} \operatorname{Char} K = 0 \end{eqnarray*}$ haben.

Es gibt auch unendliche Körper mit Primzahlcharakteristik. Nur die eine Richtung gilt. Also jeder Körper mit Char 0 ist unendlich.

Zitat:

Original von Pascal95

Zitat:

kleinsten Unterkörper davon (also von 0 und 1 erzeugt)

Wie meinst du das ?

Damit meine ich einfach, dass wir einen Unterkörper $\begin{eqnarray*} L \leq K \end{eqnarray*}$ nehmen, der kleinstmöglich ist, aber die 0 und 1 enthält (muss er ja als Körper).

Da die 1 drin ist, ist auch 1+1 und 1+1+1 und 1+1+1+1 etc. drin (Beachte, dass wir hier immer wieder eine neue Zahl bekommen, da ja Char K = 0)

Von diesen Zahlen (die wir mit den natürlichen Zahlen identifiziren können) müssen aber auch die Inverse drin sein, also 1/(1+1), 1/(1+1+1).

Nun müssen von diesen ganzen Zahlen aber auch die additiv Inversen drin sein, etc...

Merkst du wie wir bei $\begin{eqnarray*} L \cong \mathbb Q \end{eqnarray*}$ landen werden?

PS: Zu den Relationen. Man könnte diese Mengen auch für beliebige Relationen bilden, allerdings hätten diese Mengen dann nicht die schönen Eigenschaften, die Äquivalenzklassen haben. Es wäre also recht sinnlos.

06.09.2011, 19:09

Eric_09

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Genau, so wie tmo hab ich das gemeint.

Wollte sicher gehen, wir unter $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ das gleiche verstehen.

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} := [(a,b)]_\sim \end{eqnarray*}$

bezüglich der Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ welche du in
jeder Standardliteratur findest Freude

Freude

Und um da eine Addition usw. zu definieren, musst du dich um die
Wohldefiniertheit der Verknüpfungen usw. beschäftigen.

Wenn du das wusstest, ignorier was ich gesagt hab.

Die reellen Zahlen wiederrum sind dann die Menge der Cauchyfolgen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$
faktorisiert bzgl einer weiteren Äquiv.klasse.

Und wieder muss man sich um seine Verknüpfungen kümmern.

06.09.2011, 19:13

Eric_09

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Korrektur: Die reellen Zahlen wiederrum sind dann die Menge der Cauchyfolgen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$
faktorisiert bzgl einer weiteren Äquiv.relation.

PS: Die Konstruktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist ein Thema der Analysis Freude

Freude

06.09.2011, 19:19

Pascal95

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Hallo,

so wie du es beschrieben hat, kann ich mir das sehr gut vorstellen, wie daraus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ "entsteht".

Aber warum sollte diese neue Menge denn nicht gleich $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sein. Liegt das daran, dass sie ja doch nicht ganz dasselbe sind, also sogesehen alles gleich bis auf andere "Namen" für die Elemente.
In $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sind es ja eigentlich Äquivalenzklassen, in der neu entstehenden Menge ja (schon) Brüche.
~~Heißt es dann: Es gibt einen Isomorphismus von L nach Q oder umgekehrt ?~~
Hat sich geklärt: Es gibt ja einen Isomorphismus von L nach Q wenn es einen von Q nach L gibt, da ja gefordert wird, dass die Umkehrabbildung auch ein Homomorphismus ist (damit auch Isomorphismus wegen vorausgesetzter Bijektivität).

Falls mir jemand Literatur empfehlen kann, die möglichst wenig Vorwissen fordert, würde ich mich ebenfalls freuen.

@Eric_09: Anfangs dachte ich noch gar nicht, dass man hier "konstruieren" muss, der Begriff des Körpers kommt ja aus der Algebra.
Aber falls es jemand verschieben will, ist es mir auch recht.

06.09.2011, 19:22

Elvis

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Literaturhinweis : Edmund Landau "Grundlagen der Analysis. (Das Rechnen mit ganzen, rationalen, irrationalen, komplexen Zahlen)", Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1930

Siehe z.B. hier : http://www.scribd.com/doc/2452802/Landau...en-der-Analysis

Richtig schön mühsam, aber da muss man durch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2011, 19:55

Pascal95

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Kann man dann eigentlich sagen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ der kleinste Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist, für den $\begin{eqnarray*} \operatorname{Char} K = 0 \end{eqnarray*}$ ?
Ich denke ja - das haben wir ja eigentlich gezeigt (?).

Mit "kleinster Körper" meint man dann, dass er aus nur dem wirklich notwendigem besteht (?), also "0" und "1".

Und der Begriff des Erzeugens war mir auch unklar:
Heißt das dann soviel wie: Man erzeugt einen Körper aus gewissen Elementen, indem man sie als gegeben voraussetzt und schaut dann (indem man die Körperaxiome ausnutzt), was für Elemente noch drin sein müssen, sodass es sich um einen Körper handelt. (?)

Und mit "postulieren eines Körpers mit Charakteristik null" meinst du, dass wir einfach davon ausgehen, dass es mindestens einen solchen Körper gibt.

06.09.2011, 23:16

tmo

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Zitat:

Original von Pascal95
Kann man dann eigentlich sagen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ der kleinste Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist, für den $\begin{eqnarray*} \operatorname{Char} K = 0 \end{eqnarray*}$ ?
Ich denke ja - das haben wir ja eigentlich gezeigt (?).

Gut erkannt. Freude

Freude

Zitat:

Original von Pascal95
Mit "kleinster Körper" meint man dann, dass er aus nur dem wirklich notwendigem besteht (?), also "0" und "1".

Etwas präziser ist mit "kleinster" gemeint, dass jeder andere eben $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ enthält.

Bei einer Relation wie der Teilmengenrelation muss man mit einem Wort wie "am kleinsten" aufpassen, da ja nicht alle Mengen vergleichbar sind (Es ist keine Totalordnung). Aber da $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ wirklich die Eigenschaft hat, dass es in jedem Unterkörper eines Körpers mit Char. 0 enthalten ist, geht der Begriff hier klar.

Zitat:

Original von Pascal95
Und der Begriff des Erzeugens war mir auch unklar:
Heißt das dann soviel wie: Man erzeugt einen Körper aus gewissen Elementen, indem man sie als gegeben voraussetzt und schaut dann (indem man die Körperaxiome ausnutzt), was für Elemente noch drin sein müssen, sodass es sich um einen Körper handelt. (?)

Auch hier wieder etwas präziser: Generell ist in einer algebraischen Struktur das Erzeugnis einer Menge M (oft ist diese endlich), die kleinste Menge, die die algebraische Struktur besitzt (also Unterkörper, Teilring, Untergruppe, Unterraum, etc. ist) und die Menge M enthält. Also der Schnitt über alle Unterkörper/ringe/gruppen/räume, die M enthalten.

Zitat:

Original von Pascal95
Und mit "postulieren eines Körpers mit Charakteristik null" meinst du, dass wir einfach davon ausgehen, dass es mindestens einen solchen Körper gibt.

Genauso wars gemeint.

Streng logisch macht man es meistens genau andersrum. Man konstruiert mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ eben den kleinste solchen Körper und gewinnt dann andere Körper durch algebraische Körpererweiterungen oder Vervollständigung (wie es bei den reellen Zahlen der Fall ist).
Dass die reellen Zahlen eigentlich ein Produkt der Analysis sind, ist vielen nicht bewusst.
Historisch (und so auch in der Schule) wurden die reellen Zahlen motiviert, weil man Gleichungen wie $\begin{eqnarray*} x^2-2=0 \end{eqnarray*}$ lösen wollte, das klingt nach algebraischer Körpererweiterung.
Nach modernem Standpunkt ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ aber die Vervollständigung von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , d.h. man will erreichen, dass jede Cauchy-Folge konvergiert oder dass jede beschränkte Menge Supremum und Infimum hat.
Wollte man einfach nur alle Polynome in Linearfaktoren zerfallen lassen, so reicht es ja den Körper der algebraischen Zahlen zu nehmen.

06.09.2011, 23:50

Pascal95

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Hallo,

vielen Dank für deine Antwort.

Es gibt ja auch gewisse Folgen, die in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nicht konvergieren, wie z.B. eine rekursiv definierte, die gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ konvergiert (übers Hornerschema glaube ich ?).
Es gibt ja auch Mengen, die kein Supremum in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ haben, wie z.B. $\begin{eqnarray*} \{ x\in\mathbb Q~ | ~ 0\leq x \land 2\leq x^2 \} \end{eqnarray*}$ (erinnert an Dedekind-Schnitt), allerdings kann man mit rationalen Zahlen den reellen Zahlen ja beliebig nahe kommen (erinnert an IVS).

Zitat:

Wollte man einfach nur alle Polynome in Linearfaktoren zerfallen lassen, so reicht es ja den Körper der algebraischen Zahlen zu nehmen.

Das sind ja gerade die NS der Polynome mit rationalen Koeffizienten.
Die sind witzigerweise ja sogar gleichmächtig wie $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, dass das jetzt nicht zu durcheinander ist, aber ich wollte nochmal an der Definition $\begin{eqnarray*} \mathbb Q := \left\{ x\in\mathbb R~ \mid ~ x = \frac a b \right\} \end{eqnarray*}$ fragen, ob man denn da schon die reellen Zahlen kennen muss ?
Eigentlich wollten wir ja die reellen aus den rationalen konstruieren.

Desweiteren wäre es doch interessant, mal zu schauen, wie / und ob der Körper aussieht, der aus $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und noch einem Element erzeugt wird, das aber nicht aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist - wie z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ .
Davon habe ich auch schon einmal irgendwo gehört, das das geht - nur ob es dann wirklich ein Körper ist, müsste man nachweisen. Ich denke aber schon ...
Müsste man hier aber nicht einen anderen Oberkörper wählen, da man ja nicht sichergehen kann / nicht weiß, dass/ob der Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , dessen Existenz postuliert wurde, der $\begin{eqnarray*} \operatorname{Char} K = 0 \end{eqnarray*}$ hat, auch $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ enthält.
Muss man sich hier schon den reellen Zahlen bedienen ?

07.09.2011, 08:00

Eric_09

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Zitat:

Original von Pascal95
Hallo,

vielen Dank für deine Antwort.

Es gibt ja auch gewisse Folgen, die in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nicht konvergieren, wie z.B. eine rekursiv definierte, die gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ konvergiert (übers Hornerschema glaube ich ?).

Hi Pascal, das ist genau der Punkt. Diese Folgen, die du meinst sind Cauchyfolgen, konvergieren aber nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Um diese "Lücken" zu schließen,
erweitern wir $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

In $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt dann nämlich:
$\begin{eqnarray*} \{ x_n \}_{n \in \mathbb N} \in \text{CF}(\mathbb R) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} x_n = a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Und das ist eine richtig schöne und mächtige Eigenschaft, die uns lange verfolgen wird.

07.09.2011, 09:45

tmo

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Zitat:

Original von Pascal95
Ich hoffe, dass das jetzt nicht zu durcheinander ist, aber ich wollte nochmal an der Definition $\begin{eqnarray*} \mathbb Q := \left\{ x\in\mathbb R~ \mid ~ x = \frac a b \right\} \end{eqnarray*}$ fragen, ob man denn da schon die reellen Zahlen kennen muss ?
Eigentlich wollten wir ja die reellen aus den rationalen konstruieren.

Diese Definition ist so wie sie da steht, sowieso Mist.

Sowas wie $\begin{eqnarray*} \mathbb Q := \left\{ x\in\mathbb R~ \mid ~ x = \frac a b, a \in \mathbb Z, b \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$ könnte man bringen, wenn man die reellen Zahlen axiomatisch eingeführt hat und dann sagen will, welche Teilmenge wir mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ identifizieren. In vielen AnaI-Buchern und -Vorlesungen wird das so gemacht, weil einfach nicht der Platz und die Zeit ist vorher auch noch das ganze Zahlensystem systematisch aufzubauen.

Zitat:

Original von Pascal95
Desweiteren wäre es doch interessant, mal zu schauen, wie / und ob der Körper aussieht, der aus $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und noch einem Element erzeugt wird, das aber nicht aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist - wie z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ .
Davon habe ich auch schon einmal irgendwo gehört, das das geht - nur ob es dann wirklich ein Körper ist, müsste man nachweisen. Ich denke aber schon ...
Müsste man hier aber nicht einen anderen Oberkörper wählen, da man ja nicht sichergehen kann / nicht weiß, dass/ob der Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , dessen Existenz postuliert wurde, der $\begin{eqnarray*} \operatorname{Char} K = 0 \end{eqnarray*}$ hat, auch $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ enthält.
Muss man sich hier schon den reellen Zahlen bedienen ?

Man kann jede Zahl, die Nullstelle eines Polynoms ist, an $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ dranadjunktieren und erhält wieder einen Körper.

Man schreibt dann $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ . Dies ist der Schnitt aller Ringe, die $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ enthalten, es zeigt sich, dass dies sogar ein Körper ist.

Es ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[\sqrt{2}]\cong \{f(\sqrt{2}) | f \in \mathbb Q[X]\} \cong \{a+b\sqrt{2} | a,b \in \mathbb Q \} \cong \mathbb Q [X] / (x^2-2)\mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$

Fällt dir auf welchen dieser möglichen Isomorphietypen man nur benutzen könnte um diesen Körper zu konstruieren, wenn man vorher die reellen Zahlen noch gar nicht zu Verfügung hat?

07.09.2011, 17:29

Pascal95

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Hallo.

Zitat:

Original von tmo
Es ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[\sqrt{2}]\cong \{f(\sqrt{2}) | f \in \mathbb Q[X]\} \cong \{a+b\sqrt{2} | a,b \in \mathbb Q \} \cong \mathbb Q [X] / (x^2-2)\mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$

Fällt dir auf welchen dieser möglichen Isomorphietypen man nur benutzen könnte um diesen Körper zu konstruieren, wenn man vorher die reellen Zahlen noch gar nicht zu Verfügung hat?

Leider verstehe ich nicht alle Audrücke, und erwarte das aber auch nicht.

In der Algebra ist ja allgemein $\begin{eqnarray*} \sqrt[m]{n} \end{eqnarray*}$ als die Nullstelle des Polynoms $\begin{eqnarray*} x^m-n \end{eqnarray*}$ definiert.
Dazu braucht man ja die reellen Zahlen garnicht, auch wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt2\in\mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \{f(\sqrt{2}) | f \in \mathbb Q[X]\} \end{eqnarray*}$
Wenn mich nicht alles täuscht, und sich hier die Schreibweise nicht von der von mir gelernten unterscheidet, enthält diese Menge all die Funktionswerte $\begin{eqnarray*} f ( \sqrt2 ) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Polynom mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist.

Dies sind ja all die Werte $\begin{eqnarray*} a_0+a_1\sqrt2+a_2\sqrt2^2+\ldots+a_n\sqrt2^n \end{eqnarray*}$
Das stell ich mir ähnlich wie die Linearkombination (Vektorrechnung) als alle möglichen Kombinationen wie man mit den in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ definierten Verknüpfungen aus $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ ein anderes Element machen kann, was dann auch im Körper sein muss. (beliebig oft mit sich selbst mutliplizieren, dann mit einem Element aus Q multiplizieren und dann beliebige Summen aus so konstruierten Elementen erstellen)

$\begin{eqnarray*} \{a+b\sqrt{2} | a,b \in \mathbb Q \} \end{eqnarray*}$
Hier wundert es mich, dass die Menge (eigentlich ja Körper) isomorph zur vorhin genannten sein soll...
Es fallen ja zwei Sachen weg: Potenzieren von $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ - das ist aber kein Problem, da $\begin{eqnarray*} \sqrt2^k,\ k\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ ja nur Werte der Gestalt $\begin{eqnarray*} w\sqrt2,\ w\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ annehmen kann (dann steckt man das $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ in den Faktor $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ rein)
Und zur Addition von Termen wie $\begin{eqnarray*} a_i\sqrt2^i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_j\sqrt2^j \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} a_i\sqrt2^i+a_j\sqrt2^j=a_iw_i\sqrt2 +a_jw_j \sqrt2 = v_i \sqrt2 +v_j \sqrt2 = (v_i+v_j) \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
Ich schrieb diesen Text, während ich überlegt habe, damit wurde mir klar, dass diese Mengen ja die selben Elemente haben, auch wenns so aussieht, als ob die 2. nicht alles enthalten könnte, was die 1. enthält.

Allerdings müsste ich länger darüber nachdenken, wie man diesen Prozess von $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \sqrt[m]{n} \end{eqnarray*}$ erweitert.

Zum letzten wollte ich noch was sagen, aber ich muss jetzt kurz weg.
danke für deine hilfe!

07.09.2011, 18:53

tmo

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Du hast das schon ganz gut erkannt.

Zitat:

Original von Pascal95
Allerdings müsste ich länger darüber nachdenken, wie man diesen Prozess von $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \sqrt[m]{n} \end{eqnarray*}$ erweitert.

Das sind dann halt alle Ausdrücke der Form $\begin{eqnarray*} a_0+a_1\sqrt[m]{n}+a_2\sqrt[m]{n}^2+ \dotsb + a_m \sqrt[m]{n}^{m-1} \end{eqnarray*}$ , sofern nicht irgendein Ausdruck davon irgendwann rational wird, d.h. sich der Ausdruck nicht als Wurzel kleinerer Ordnung schreiben lässt.

Dass das so ist, ist aber keinesfalls klar. Hier kommt dann die mächtige Algebra ins Spiel, mit der sich recht einfach zeigen lässt, dass für jede algebraische Zahl $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q [\alpha] \cong \mathbb Q[X] /m_\alpha \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ , wo $\begin{eqnarray*} m_\alpha \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom ist.

Und wenn man in der rechten Struktur nun $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ mit der Restklasse des Polynoms $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ identifiziert, so erhält man sofort, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[\alpha] \end{eqnarray*}$ als Q-Vektorraum die Basis $\begin{eqnarray*} \{1, \alpha, \dotsc, \alpha^s\} \end{eqnarray*}$ besitzt, wobei s+1 der Grad des Minimalpolynoms ist.

07.09.2011, 19:23

Pascal95

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Hallo,

zum Glück habe ich mich in letzter Zeit recht viel mit Vektorräumen beschäftigt.

Allerdings bin ich noch nicht zum Faktorraum gekommen, da ich hier aber immer wieder auf ihn stoße, und es auch schon vor längerer Zeit mal geplant habe, mich in den Faktorraum einzuarbeiten, werde ich das wohl erst mal tun müssen - ansonsten kann ich ja nicht mehr mitreden.

Was bedeutet dann aber diese Schreibweise $\begin{eqnarray*} m_\alpha \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ ?
Dass $\begin{eqnarray*} m_\alpha \end{eqnarray*}$ das sogenannte Minimalpolynom ist, es also kein Polynom kleineren Grades gibt, dass die algebraische Zahl $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ als Nullstelle enthält, weiß ich schon.

Es wäre dann ja wohl $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[x] = \left\{ f : \mathbb Q \to \mathbb R, ~ x\mapsto \sum_{i=0}^n a_i x^i , ~ a_i\in\mathbb Q \right\} \end{eqnarray*}$ oder einfach $\begin{eqnarray*} \left\{ \sum_{i=0}^n a_i x^i ~ \mid ~ a_i\in\mathbb Q \right\} \end{eqnarray*}$ (habe ich mir selber so ausgedacht, aber an die allgemeine Definition des Polynoms angelehnt (wo dann Koeffizienzen aus einem beliebigen Körper kommen)).

Es muss auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] \subseteq m_\alpha \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ .

07.09.2011, 20:09

Elvis

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Vektorräume sind hier sicher auch beteiligt, speziell bei Körpererweiterungen. Wenn du mehr verstehen möchtest, musst du Ringe (insbesondere Polynomringe) und deren Ideale (das sind Unterringe, nach denen faktorisiert wird) studieren. Polynomringe über Körpern sind Hauptidealringe, irreduzible Polynome erzeugen maximale Ideale, Faktorringe nach Minimalpolynomen sind daher Körper (und schon sind wir bei den algebraischen Körpern). Übrigens unterscheiden wir Polynome und Polynomfunktionen. Wo die Nullstellen von Polynomen zu finden sind, ist uns seit einiger Zeit klar: es gibt zu jedem Körper einen "algebraischen Abschluß", und für Polynome gibt es "Zerfällungskörper".

Ein modernes Lehrbuch über Algebra, z.B. von Bosch, wäre zu empfehlen. Weiterhin viel Erfolg.

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